Relativamente ao espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} :
Escreva o vetor u=(3,4,-2) como combinação linear dos vectores:
(1) v=(1,2,0), w=(0,1,2) e z=(1,0,2).
(2) v=(6,0,-4), w=(0,1,0) e z=(3,2,-2).

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva o vetor \;u=(3,4,-2)\; como combinação linear de três vetores em cada um dos dois itens dados. Ou seja, em cada item quero encontrar escalares (coeficientes) \;\alpha,\beta,\gamma\; tais que
\alpha v + \beta w + \gamma z = u.
Informações fornecidas:
(1) v=(1,2,0),\; w=(0,1,2),\; z=(1,0,2).
(2) v=(6,0,-4),\; w=(0,1,0),\; z=(3,2,-2).

Passo 2

Método que vou usar (explicando como pensar na prova): para escrever u como combinação linear de v,w,z eu escrevo incógnitas \alpha,\beta,\gamma e igualo componente a componente. Isso gera um sistema linear de 3 equações (uma para cada coordenada) em 3 incógnitas. Posso resolver o sistema por substituição ou eliminação (Gauss). Vou mostrar passo a passo a montagem do sistema e a resolução por substituição/algebra básica — é rápido e fácil de fazer sem calculadora.

Passo 3

Item (1): escrevo a igualdade das componentes. Quero \alpha(1,2,0)+\beta(0,1,2)+\gamma(1,0,2)=(3,4,-2)\). Igualando coordenadas obtenho o sistema: \[\begin{cases} \alpha + \gamma = 3,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 4,\\[4pt] 2\beta + 2\gamma = -2. \end{cases}
Aqui cada linha corresponde respectivamente às coordenadas (x,y,z]. Vou resolver essas três equações.]

Passo 4

Continuando (Item 1): simplifico a terceira equação dividindo por 2\): \[\beta + \gamma = -1.
Agora tenho o sistema equivalente
\begin{cases} \alpha + \gamma = 3,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 4,\\[4pt] \beta + \gamma = -1. \end{cases}
Vou isolar \beta\] da terceira: \(\beta = -1 - \gamma. Substituo essa expressão na segunda equação:
2\alpha + (-1 - \gamma) = 4 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha - \gamma = 5.
Também da primeira equação tenho \alpha = 3 - \gamma. Posso usar qualquer uma das duas para eliminar \alpha ou \gamma. Vou substituir \alpha = 3 - \gamma em 2\alpha - \gamma = 5.]

Passo 5

Substituição (Item 1): com \alpha = 3 - \gamma,
2(3 - \gamma) - \gamma = 5 \quad\Rightarrow\quad 6 - 2\gamma - \gamma = 5.
Isso dá
6 - 3\gamma = 5 \quad\Rightarrow\quad 3\gamma = 1 \quad\Rightarrow\quad \gamma = \tfrac{1}{3}.
Agora volto para as outras incógnitas: \alpha = 3 - \gamma = 3 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{8}{3}. E \beta = -1 - \gamma = -1 - \tfrac{1}{3} = -\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Checagem rápida (Item 1): calculo \alpha v + \beta w + \gamma z com os valores encontrados:
\tfrac{8}{3}(1,2,0) + \Big(-\tfrac{4}{3}\Big)(0,1,2) + \tfrac{1}{3}(1,0,2) = (3,4,-2),
confirmando que os coeficientes estão corretos. Portanto uma expressão válida é
u = \tfrac{8}{3}\,v - \tfrac{4}{3}\,w + \tfrac{1}{3}\,z.

Passo 7

Item (2): monto o sistema da mesma forma. Quero \alpha(6,0,-4)+\beta(0,1,0)+\gamma(3,2,-2)=(3,4,-2). Igualando coordenadas:
\begin{cases} 6\alpha + 3\gamma = 3,\\[4pt] \beta + 2\gamma = 4,\\[4pt] -4\alpha - 2\gamma = -2. \end{cases}
Posso simplificar as equações que têm coeficientes comuns: primeira e terceira têm um fator em comum.]

Passo 8

Simplificação (Item 2): divido a primeira equação por 3 e a terceira por -2:
\begin{cases} 2\alpha + \gamma = 1,\\[4pt] \beta + 2\gamma = 4,\\[4pt] 2\alpha + \gamma = 1. \end{cases}
Note que a primeira e a terceira são exatamente a mesma equação. Isso significa que tenho, de fato, só duas equações independentes para três incógnitas: existe uma família infinita de soluções (os vetores dados são linearmente dependentes ou não formam um sistema totalmente independente). Vou parametrizar a solução.]

Passo 9

Parametrização (Item 2): tomo \alpha = t como parâmetro livre ( t\in\mathbb{R}). Da equação 2\alpha + \gamma = 1 obtenho
\gamma = 1 - 2\alpha = 1 - 2t.
Da equação \beta + 2\gamma = 4 obtenho
\beta = 4 - 2\gamma = 4 - 2(1 - 2t) = 2 + 4t.
Portanto a família de soluções é
(\alpha,\beta,\gamma) = \big(t,\;2+4t,\;1-2t\big),\qquad t\in\mathbb{R}.
Uma solução particular obtida escolhendo t=0 é (\alpha,\beta,\gamma)=(0,2,1), ou seja
u = 0\cdot v + 2\cdot w + 1\cdot z = 2w + z.
Também podemos escrever a solução geral diretamente como
u = t\,v + (2+4t)\,w + (1-2t)\,z,\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(1) u = \tfrac{8}{3}\,v - \tfrac{4}{3}\,w + \tfrac{1}{3}\,z\n
(2) u = t\,v + (2+4t)\,w + (1-2t)\,z,\; t\in\mathbb{R}

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