Relativamente ao espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} :
Escreva o vetor u=(3,4,-2) como combinação linear dos vectores:
(1) v=(1,2,0), w=(0,1,2) e z=(1,0,2).
(2) v=(6,0,-4), w=(0,1,0) e z=(3,2,-2).
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva o vetor \;u=(3,4,-2)\; como combinação linear de três vetores em cada um dos dois itens dados. Ou seja, em cada item quero encontrar escalares (coeficientes) \;\alpha,\beta,\gamma\; tais que
Método que vou usar (explicando como pensar na prova): para escrever u como combinação linear de v,w,z eu escrevo incógnitas \alpha,\beta,\gamma e igualo componente a componente. Isso gera um sistema linear de 3 equações (uma para cada coordenada) em 3 incógnitas. Posso resolver o sistema por substituição ou eliminação (Gauss). Vou mostrar passo a passo a montagem do sistema e a resolução por substituição/algebra básica — é rápido e fácil de fazer sem calculadora.
Também da primeira equação tenho \alpha = 3 - \gamma. Posso usar qualquer uma das duas para eliminar \alpha ou \gamma. Vou substituir \alpha = 3 - \gamma em 2\alpha - \gamma = 5.]
Note que a primeira e a terceira são exatamente a mesma equação. Isso significa que tenho, de fato, só duas equações independentes para três incógnitas: existe uma família infinita de soluções (os vetores dados são linearmente dependentes ou não formam um sistema totalmente independente). Vou parametrizar a solução.]
Passo 9
Parametrização (Item 2): tomo \alpha = t como parâmetro livre (t\in\mathbb{R}). Da equação 2\alpha + \gamma = 1 obtenho