Como decidir se n vetores em \mathbb{R}^{n} é um conjunto LD?

Passo 1

O que o problema pede: decidir se n vetores em \mathbb{R}^{n} formam um conjunto linearmente dependente (LD) ou não.
Informações dadas (implícitas no enunciado): temos n vetores \(v_1,v_2,\dots,v_n) em \mathbb{R}^{n}. A pergunta é simplesmente: há uma maneira prática e confiável de testar se esse conjunto é LD?

Passo 2

Definição clara (o que significa ser LD).
Um conjunto de vetores \(v_1,v_2,\dots,v_n) é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero. Formalmente:
\text{LD} \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\, (c_1,\dots,c_n)\neq (0,\dots,0)\text{ tal que } c_1 v_1+\cdots+c_n v_n=0.
Aqui cada c_i é um número real (coeficiente). “Não trivial” significa que pelo menos um c_i é diferente de zero. Se a única solução for todos os c_i=0, o conjunto é linearmente independente (LI).

Passo 3

Escrever o problema como um sistema linear (tradução prática).
Coloque os vetores como colunas de uma matriz A:
A = \begin{pmatrix} | & | & & | \\\ v_1 & v_2 & \cdots & v_n \\\ | & | & & | \end{pmatrix},
onde A é uma matriz n\times n. A condição c_1 v_1+\cdots+c_n v_n=0 fica exatamente como
A\mathbf{c}=0,
onde \mathbf{c}=(c_1,\dots,c_n)^{T}. Então decidir LD é decidir se existe solução não trivial para A\mathbf{c}=0.

Passo 4

Conexão com posto (rank) e solução do homogêneo.
Teorema útil: o sistema homogêneo A\mathbf{c}=0 tem solução não trivial se, e somente se, a matriz A tem posto (rank) menor que n. Em símbolos:
\exists\,\mathbf{c}\neq 0,\;A\mathbf{c}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}(A)<n.
Se \operatorname{rank}(A)=n então a única solução é \mathbf{c}=0 e os vetores são LI.

Passo 5

Critério prático e rápido para o caso n vetores em \mathbb{R}^n: determinante.
Para uma matriz quadrada A (aqui n\times n) vale:
A\text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}(A)=n.éí
Portanto, para os n vetores em \mathbb{R}^n temos a equivalência prática:
\text{os vetores são linearmente independentes} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq 0.ã
Se \det(A)=0, então \operatorname{rank}(A)<n e os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Lista de métodos que posso usar numa prova (passo a passo, do mais simples ao mais geral):
  1. Calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 pare: são LI. Se \det(A)=0 pare: são LD. (Útil quando n pequeno ou números simples.)
  2. Fazer eliminação por linhas (escalonar a matriz A até a forma escalonada ou RREF) e verificar o posto: se aparecerem n pivôs então LI; se houver menos de n pivôs então LD. Explicação: eliminações mostram se há combinação linear entre colunas.
  3. Tentar achar explicitamente uma combinação não trivial: resolver A\mathbf{c}=0 por eliminação e ver se aparecem variáveis livres (se aparecerem, há solução não trivial).
  4. Inspecionar: se algum vetor é o vetor zero então o conjunto é automaticamente LD; se algum vetor é claramente combinação linear dos outros (ex.: v_3=v_1+2v_2) então LD.
  5. Para casos rápidos: em \mathbb{R}^2 verificar colinearidade; em \mathbb{R}^3 verificar se três vetores são coplanares (usar determinante 3\times3 ou produto mixo).

Passo 7

Dica prática de prova quando estiver com pressa:
  • Se n é pequeno ( 2 ou 3), calcule o determinante diretamente (fórmulas simples) ou faça inspeção geométrica.
  • Se os números são grandes ou n maior, prefira eliminação por linhas até ver se aparece uma linha nula (sinal de posto menor) ou se consegue triangularizar sem zerar pivôs. A eliminação é quase sempre mais econômica que calcular um determinante por Laplace quando n\ge 4.

Passo 8

Exemplos concretos (para fixar a ideia).
Exemplo 1 — LI em \mathbb{R}^2: tome v_1=(1,0), v_2=(0,1). A matriz
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
tem \det(A)=1\neq0. Logo LI.
Exemplo 2 — LD em \mathbb{R}^2: tome v_1=(1,2), v_2=(2,4). A matriz
A=\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&4\end{pmatrix}
tem \det(A)=1\cdot4-2\cdot2=0. Logo LD (de fato v_2=2v_1).
Exemplo 3 — resolver A\mathbf{c}=0: com A do Exemplo 2, escalonando obtemos uma linha nula, restando uma variável livre; por exemplo c_1=-2c_2 mostra solução não trivial.

Passo 9

Observações finais importantes e casos especiais:
  • Se você tiver mais de n vetores em \mathbb{R}^{n} (ou seja, m>n vetores), o conjunto é sempre LD (teorema das dimen­sões).
  • Se qualquer teste (determinante, posto, solução não trivial, inspecção) indicar dependência, não é necessário fazer os outros: basta um contraexemplo (uma combinação não trivial) para concluir LD.
  • Toda vez que trabalhar com matemática em prova, anote a matriz com colunas iguais à ordem dos vetores e então aplique um dos métodos acima.

Resposta

Os n vetores v_1,\dots,v_n em \mathbb{R}^n são linearmente dependentes se, e somente se, qualquer (qualquer uma) das condições equivalentes abaixo for verdadeira:
\det(A)=0,
\operatorname{rank}(A)<n,
\exists\,\mathbf{c}\neq 0\text{ tal que }A\mathbf{c}=0,
\text{as colunas de }A\text{ não geram } \mathbb{R}^n,ã
onde A é a matriz n\times n cujas colunas são v_1,\dots,v_n.

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