Considere o conjunto de vetores \{(1,0,0),(0,1,0)\} linearmente independente. Verifique que \{(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0)\} é um conjunto de vetores linearmente dependente, e que consequentemente, ( 2,2,0 ) pode ser expresso como combinação linear de (1,0,0) e (0,1,0).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores \{(1,0,0),(0,1,0)\} e pede para verificar duas coisas: primeiro, que o conjunto \{(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0)\} é linearmente dependente; segundo, que como consequência (2,2,0) pode ser escrito como combinação linear de (1,0,0) e (0,1,0).
Informações relevantes fornecidas: os dois primeiros vetores são (1,0,0) e (0,1,0), e o terceiro vetor a testar é (2,2,0).

Passo 2

Definição útil (explicada de forma simples): um conjunto de vetores é linearmente dependente quando existem escalares (números) nem todos iguais a zero tais que a combinação linear desses vetores dá o vetor zero. Ou seja, para vetores v_1,v_2,\dots,v_k o conjunto é linearmente dependente se existem escalares c_1,c_2,\dots,c_k, não todos zero, com
c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_k v_k = (0,0,\dots,0).
Se a única solução possível for todos os c_i=0, o conjunto é linearmente independente. Também é equivalente: o conjunto é linearmente dependente se e somente se algum vetor do conjunto puder ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: procuro escalares a,b,c\) tais que \[a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(2,2,0) = (0,0,0),
ou seja, somando componentes:
(a + 2c,\; b + 2c,\; 0) = (0,0,0).
Isto gera o sistema de equações (por componentes):
\begin{cases} a + 2c = 0,\\[4pt] b + 2c = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
A terceira equação é automaticamente satisfeita (pois todas as componentes z são zero). As duas primeiras dizem a = -2c\] e \(b = -2c. Para obter uma solução em que nem todos os escalares sejam zero, escolho um valor para c diferente de zero; por exemplo, tomo c = 1. Então
a = -2,\quad b = -2,\quad c = 1.
Como existe essa solução com pelo menos um coeficiente não nulo, concluímos que \{(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0)\} é linearmente dependente.]

Passo 4

Agora mostro explicitamente que (2,2,0) é combinação linear de (1,0,0) e (0,1,0). Quero encontrar \alpha,\beta tais que
(2,2,0) = \alpha(1,0,0) + \beta(0,1,0).
Somando componentes, isso dá
(\alpha,\beta,0) = (2,2,0).
Comparando componente a componente obtemos \alpha = 2 e \beta = 2. Portanto
(2,2,0) = 2(1,0,0) + 2(0,1,0).
Observação: essa expressão também pode ser encontrada a partir da solução encontrada no passo anterior: a relação -2(1,0,0) -2(0,1,0) + 1(2,2,0) = (0,0,0) implica rearranjando que (2,2,0) = 2(1,0,0) + 2(0,1,0).

Passo 5

Resumo interpretativo rápido (para você lembrar na prova): se um vetor do conjunto é combinação linear dos outros, o conjunto é dependente. Aqui você pode ver diretamente que (2,2,0) é duas vezes o primeiro vetor mais duas vezes o segundo, então o conjunto com os três vetores é dependente — e a combinação linear dada é a resposta explícita que normalmente pedem.

Resposta

\{(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0)\} é linearmente dependente.
(2,2,0)=2(1,0,0)+2(0,1,0)

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