1 Relembrando a Integral de Riemann
IX No intervalo [2,9] tomou-se a seguinte partição
Determine
.
X.
Consideremos a função
e vamos usar o método de Riemann para calcular
. Para isto, siga o seguinte roteiro:
i) divida o intervalo
em
subintervalos de mesmo comprimento;
ii) em cada subintervalo
, escolha
de modo que a altura de cada retângulo será
;
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
iv) use a identidade
para mostrar que
;
v) calcule
e verifique, como vimos em sala, que
.
x. Sejam
e
definidas em
e tais que
em
; assim
é uma primitiva de
em
. Seja a partição
de
. Prove que escolhendo convenientemente
, tem-se
-
Este exercício é importantíssimo para o entendimento da integral de Riemann, como também é uma justificativa para tudo o que foi estudado em Cálculo Diferencial e Integral I.’
X.
i) divida o intervalo
ii) em cada subintervalo
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
v) calcule
x. Sejam
Este exercício é importantíssimo para o entendimento da integral de Riemann, como também é uma justificativa para tudo o que foi estudado em Cálculo Diferencial e Integral I.’
Passo 1
O enunciado reúne três tarefas sobre integral de Riemann:
- No intervalo
com a partição
determinar
.
2) Calcular pelo método de Riemann, seguindo o roteiro dos itens (i) a (v).
3) Provar que, se em
, então para certa escolha de
vale
2) Calcular
3) Provar que, se
Para isso usaremos cálculo de diferenças, somas de Riemann, identidade de soma de quadrados e o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Item I – cálculo de
.
Em cada subintervalo temos
Em cada subintervalo
O maior desses comprimentos é
.
Passo 3
Item X.i – subdividir
em
subintervalos iguais.
Cada subintervalo tem comprimento
Cada subintervalo tem comprimento
e os pontos são
,
.
Passo 4
Item X.ii – escolher
em cada
.
A altura do retângulo é
A altura do retângulo é
Passo 5
Item X.iii – montar a soma de Riemann
Passo 6
Item X.iv – usar a identidade
para reescrever
Passo 7
Item X.v – calcular
.
Logo
Passo 8
Item x – prova da relação usando o Teorema do Valor Médio.
Em cada intervalo , pelo TVM, existe
tal que
Em cada intervalo
Somando para
até
obtém-se
O lado esquerdo é telescópico e dá
. Logo
Resposta
I.
II.
III. Ficou demonstrado que .
II.
III. Ficou demonstrado que