1 Relembrando a Integral de Riemann
IX No intervalo [2,9] tomou-se a seguinte partição
\mathcal{P}=\{2 ; 3 ; 4,5 ; 5,5 ; 8 ; 8,5 ; 9\} .
Determine \max _{\mathcal{P}} \Delta_{i} x.
X. { }^{1} Consideremos a função y=x^{2} e vamos usar o método de Riemann para calcular \int_{0}^{1} x^{2} d x. Para isto, siga o seguinte roteiro:
i) divida o intervalo [0,1] em n subintervalos de mesmo comprimento;
ii) em cada subintervalo \left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right], i \in\{1,2, \cdots, n\}, escolha \bar{x}_{i}=i / n de modo que a altura de cada retângulo será f\left(\bar{x}_{i}\right)=\left(\frac{i}{n}\right)^{2};
iii) construa as somas de Riemann mostrando que a área aproximada é dada por
A_{n}=\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}} ;
iv) use a identidade
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
para mostrar que A_{n}=\frac{(n+1)(2 n+1)}{6 n^{2}};
v) calcule \lim _{n \rightarrow+\infty} A_{n} e verifique, como vimos em sala, que \lim _{n \rightarrow+\infty} A_{n}=\int_{0}^{1} x^{2} d x.
x. Sejam F e f definidas em [a, b] e tais que F^{\prime}=f em [a, b]; assim F é uma primitiva de f em [a, b]. Seja a partição P: a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b de [a, b]. Prove que escolhendo convenientemente \bar{c}_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right], tem-se
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^{n} f\left(\bar{c}_{i}\right) \Delta_{i} x .

  1. { }^{1} Este exercício é importantíssimo para o entendimento da integral de Riemann, como também é uma justificativa para tudo o que foi estudado em Cálculo Diferencial e Integral I.’

Passo 1

O enunciado reúne três tarefas sobre integral de Riemann:
  1. No intervalo [2,9] com a partição
\mathcal{P}=\{2;3;4,5;5,5;8;8,5;9\}
determinar \max_{\mathcal{P}}\Delta_i x.
2) Calcular \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx pelo método de Riemann, seguindo o roteiro dos itens (i) a (v).
3) Provar que, se F'\!=\!f em [a,b], então para certa escolha de \bar c_i\in[x_{i-1},x_i] vale
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(\bar c_i)\,\Delta_i x.
Para isso usaremos cálculo de diferenças, somas de Riemann, identidade de soma de quadrados e o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Item I – cálculo de \max_{\mathcal{P}}\Delta_i x.
Em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] temos
\Delta_1 x =3-2=1,\quad \Delta_2 x =4,5-3=1,5,\quad \Delta_3 x =5,5-4,5=1,
\Delta_4 x =8-5,5=2,5,\quad \Delta_5 x =8,5-8=0,5,\quad \Delta_6 x =9-8,5=0,5.
O maior desses comprimentos é \Delta_4 x=2,5.

Passo 3

Item X.i – subdividir [0,1] em n subintervalos iguais.
Cada subintervalo tem comprimento
\Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n},
e os pontos são x_i=\tfrac{i}{n}, i=0,1,\dots,n.

Passo 4

Item X.ii – escolher \bar x_i=i/n em cada \bigl[\tfrac{i-1}{n},\tfrac{i}{n}\bigr].
A altura do retângulo é
f(\bar x_i)=\Bigl(\frac{i}{n}\Bigr)^2.

Passo 5

Item X.iii – montar a soma de Riemann
A_n=\sum_{i=1}^n f(\bar x_i)\,\Delta x =\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{i}{n}\Bigr)^2\cdot\frac{1}{n} =\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}.

Passo 6

Item X.iv – usar a identidade
1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
para reescrever
A_n =\frac{1^2+\cdots+n^2}{n^3} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6\,n^3} =\frac{(n+1)(2n+1)}{6\,n^2}.

Passo 7

Item X.v – calcular \lim_{n\to+\infty}A_n.
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6\,n^2} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3n+1}{6n^2} =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Logo \displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}.

Passo 8

Item x – prova da relação usando o Teorema do Valor Médio.
Em cada intervalo [x_{i-1},x_i], pelo TVM, existe \bar c_i\in[x_{i-1},x_i] tal que
F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(\bar c_i)\,(x_i-x_{i-1}) =f(\bar c_i)\,\Delta_i x.
Somando para i=1 até n obtém-se
\sum_{i=1}^n\bigl[F(x_i)-F(x_{i-1})\bigr] =\sum_{i=1}^n f(\bar c_i)\,\Delta_i x.
O lado esquerdo é telescópico e dá F(b)-F(a). Logo
F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(\bar c_i)\,\Delta_i x.

Resposta

I. \displaystyle\max_{\mathcal{P}}\Delta_i x=2,5.
II. \displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}.
III. Ficou demonstrado que \displaystyle F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n f(\bar c_i)\,\Delta_i x.

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