Relembre o que acontece com o determinante quando realizamos operações elementares numa matriz. Agora calcule o determinante abaixo aplicando operações elementares:
\left|\begin{array}{lllll}0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz abaixo usando operações elementares. A matriz dada é
\left|\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right|
As informações relevantes são: é uma matriz 5\times5 com exatamente um elemento não nulo por linha e por coluna (valores 1,2,3,4,5 em posições permutadas). O objetivo é obter o valor do determinante aplicando operações elementares e acompanhando o efeito delas no determinante.

Passo 2

Relembre — efeitos das operações elementares nas linhas (o mesmo vale para colunas, com efeito análogo):
\begin{array}{l} \text{(a) Trocar duas linhas:} \quad \text{multiplica o determinante por } -1.\\[6pt] \text{(b) Multiplicar uma linha por } k: \quad \text{o determinante é multiplicado por } k.\\[6pt] \text{\text{(c)} Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha:} \quad \text{o determinante não muda.} \end{array}éúã
Vamos usar apenas trocas de linhas para reordenar as linhas de modo que os elementos não nulos fiquem na diagonal — assim chegamos a uma matriz diagonal cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal. Precisamos contar quantas trocas foram feitas (cada troca dá fator -1).]

Passo 3

Escrevo a matriz original A (repito para clareza):
A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Observação das posições não nulas por linha:
\begin{array}{l} \text{linha 1: coluna 3 com }1,\\\ \text{linha 2: coluna 1 com }2,\\\ \text{linha 3: coluna 4 com }3,\\\ \text{linha 4: coluna 5 com }4,\\\ \text{linha 5: coluna 2 com }5. \end{array}

Passo 4

Queremos colocar cada elemento não nulo na posição diagonal correspondente (linha i, coluna i). Vamos reordenar linhas usando trocas e acompanhar o sinal. Primeiro, colocamos o elemento que está em linha 2, coluna 1 para a primeira linha trocando a linha 1 com a linha 2. Uma troca \Rightarrow fator -1.
Matriz após a 1ª troca (troca R_1 \leftrightarrow R_2):
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Fator acumulado das trocas: (-1).

Passo 5

Agora queremos que a segunda linha tenha o elemento em coluna 2. Atualmente esse elemento está na quinta linha. Trocamos a linha 2 com a linha 5. Outra troca \Rightarrow mais um fator -1.
Matriz após a 2ª troca (troca R_2 \leftrightarrow R_5):
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Fator acumulado das trocas: (-1)\cdot(-1)=+1.

Passo 6

Queremos a terceira linha com elemento na coluna 3. Atualmente o elemento de coluna 3 está na quinta linha. Trocamos a linha 3 com a linha 5. Mais uma troca \Rightarrow fator -1.
Matriz após a 3ª troca (troca R_3 \leftrightarrow R_5):
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}
Fator acumulado das trocas: +1\cdot(-1)=-1.

Passo 7

Falta corrigir as linhas 4 e 5: a quarta linha deveria ter coluna 4, mas atualmente a coluna 4 está na quinta linha. Trocamos a linha 4 com a linha 5. Mais uma troca \Rightarrow fator -1.
Matriz após a 4ª troca (troca R_4 \leftrightarrow R_5):
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
Fator acumulado das trocas: (-1)\cdot(-1) = +1 (porque já tínhamos -1 antes desta troca; multiplicando por -1 +1). Conclusão: foram realizadas 4 trocas, número par, portanto o sinal total introduzido pelas trocas é (-1)^4=+1.

Passo 8

Chegamos a uma matriz diagonal (vou chamá-la de D):
D= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
O determinante de uma matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal. Portanto
\det(D)=2\cdot5\cdot1\cdot3\cdot4.
Calculando o produto:
2\cdot5=10,\quad 10\cdot1=10,\quad 10\cdot3=30,\quad 30\cdot4=120.

Passo 9

Como o número total de trocas foi 4 (par), o determinante da matriz original A é igual ao determinante de D vezes (-1)^4=+1. Então
\det(A)=\det(D)=120.

Resposta

120

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