Relembre o que acontece com o determinante quando realizamos operações elementares numa matriz. Agora calcule o determinante abaixo aplicando operações elementares:
\left|\begin{array}{rrr}3 & -2 & 5 \\\\ 0 & 5 & 17 \\\\ 6 & -4 & 12\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz 3×3 abaixo aplicando operações elementares:
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 5 & 17\\[4pt] 6 & -4 & 12 \end{pmatrix}
Informações dadas: os nove elementos da matriz estão especificados. A tarefa é obter o valor de seu determinante usando operações elementares sobre as linhas.]

Passo 2

Relembrando as regras sobre operações elementares e o determinante (explicação didática):
  • Trocar duas linhas: muda o sinal do determinante. Em símbolos, se trocamos R_i e R_j, então
\det(\text{matriz com }R_i\leftrightarrow R_j)= -\det(\text{matriz original}).
Exemplo pequeno: para \begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} temos \det=1\cdot4-2\cdot3=-2. Se trocarmos as linhas obtemos \begin{pmatrix}3&4\\\ 1&2\end{pmatrix} cujo determinante é +2, ou seja, trocamos o sinal.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k: multiplica o determinante por k. Ou seja,
\det(\text{matriz com }kR_i)=k\cdot\det(\text{matriz original}).
Exemplo: multiplicar a primeira linha de \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} por 3 dá determinante 3.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha: não altera o determinante. Formalmente, se substituímos R_i por R_i + \lambda R_j (com i\neq j), então
\det(\text{matriz com }R_i\leftarrow R_i+\lambda R_j)=\det(\text{matriz original}).
Esse último é o mais útil para triangularizar a matriz sem mudar o determinante.

Passo 3

Plano prático (sem calcular ainda): usar a operação do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” para criar zeros abaixo da diagonal principal (triangularizar). Como essa operação não muda o determinante, no final teremos uma matriz triangular cuja determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então basta triangularizar preservando o determinante e multiplicar os diagonais.

Passo 4

Escrevendo a matriz original:
A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 5 & 17\\[4pt] 6 & -4 & 12 \end{pmatrix}
Denotando as linhas por R_1,R_2,R_3.]

Passo 5

Eliminação do elemento 6 em R_3 usando R_1. Queremos zerar o primeiro elemento da terceira linha; fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Essa é uma operação do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” (com \lambda=-2), portanto o determinante não se altera. Calculando cada entrada de R_3:
6 - 2\cdot 3 = 0,
-4 - 2\cdot(-2) = -4 + 4 = 0,
12 - 2\cdot 5 = 12 - 10 = 2.

Passo 6

Após a operação, a matriz fica triangular superior:
\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 5 & 17\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Como observação: só fizemos uma operação que preserva o determinante, então
\det(A)=\det\!\begin{pmatrix} 3 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 5 & 17\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Propriedade útil: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso pode ser visto por expansão por cofatores ou por indução. Assim, para a matriz triangular acima temos, simbolicamente,
\det(A)=3\cdot 5 \cdot 2.

Resposta

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