Informações dadas: os nove elementos da matriz estão especificados. A tarefa é obter o valor de seu determinante usando operações elementares sobre as linhas.]
Passo 2
Relembrando as regras sobre operações elementares e o determinante (explicação didática):
Trocar duas linhas: muda o sinal do determinante. Em símbolos, se trocamos R_i e R_j, então
\det(\text{matriz com }R_i\leftrightarrow R_j)= -\det(\text{matriz original}).
Exemplo pequeno: para \begin{pmatrix}1&2\\\ 3&4\end{pmatrix} temos \det=1\cdot4-2\cdot3=-2. Se trocarmos as linhas obtemos \begin{pmatrix}3&4\\\ 1&2\end{pmatrix} cujo determinante é +2, ou seja, trocamos o sinal.
Multiplicar uma linha por um escalar k: multiplica o determinante por k. Ou seja,
\det(\text{matriz com }kR_i)=k\cdot\det(\text{matriz original}).
Exemplo: multiplicar a primeira linha de \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} por 3 dá determinante 3.
Somar a um linha um múltiplo de outra linha: não altera o determinante. Formalmente, se substituímos R_i por R_i + \lambda R_j (com i\neq j), então
\det(\text{matriz com }R_i\leftarrow R_i+\lambda R_j)=\det(\text{matriz original}).
Esse último é o mais útil para triangularizar a matriz sem mudar o determinante.
Passo 3
Plano prático (sem calcular ainda): usar a operação do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” para criar zeros abaixo da diagonal principal (triangularizar). Como essa operação não muda o determinante, no final teremos uma matriz triangular cuja determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Então basta triangularizar preservando o determinante e multiplicar os diagonais.
Eliminação do elemento 6 em R_3 usando R_1. Queremos zerar o primeiro elemento da terceira linha; fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Essa é uma operação do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” (com \lambda=-2), portanto o determinante não se altera. Calculando cada entrada de R_3:
6 - 2\cdot 3 = 0,
-4 - 2\cdot(-2) = -4 + 4 = 0,
12 - 2\cdot 5 = 12 - 10 = 2.
Passo 6
Após a operação, a matriz fica triangular superior:
Propriedade útil: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso pode ser visto por expansão por cofatores ou por indução. Assim, para a matriz triangular acima temos, simbolicamente,