Relembre o que acontece com o determinante quando realizamos operações elementares numa matriz. Agora calcule o determinante abaixo aplicando operações elementares:
\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 4 & 2 & 1 & 0 \\\\ 8 & 4 & 2 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz abaixo:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 2 & 1 & 0\\\\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Pergunta: qual é \det(A)?
Informações relevantes dadas: todos os elementos da matriz estão explícitos; ela é uma matriz quadrada 4\times4.

Passo 2

Antes de mexer na matriz, vamos relembrar como operações elementares afetam o determinante (vou explicar com calma e sem pular etapas):
  • Trocar duas linhas R_i \leftrightarrow R_j multiplica o determinante por -1. Ou seja, se fizermos essa troca, \det muda de sinal.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k, R_i \leftarrow kR_i, multiplica o determinante por k. Ou seja, \det fica k vezes maior.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha, R_i \leftarrow R_i + kR_j (com k qualquer), NÃO altera o determinante. Isso é muito útil porque elimina elementos sem mexer no valor do determinante.
Explicação rápida do terceiro ponto (por que não muda): o determinante é multilinear nas linhas — pensar nisso significa que, visto como função das linhas, é linear em cada linha mantendo as outras fixas. Assim, somar um múltiplo de outra linha a uma linha não altera a combinação multilinear que forma o determinante. Intuitivamente: operações do tipo R_i \leftarrow R_i + kR_j correspondem a adicionar um volume “paralelo” que já está contado, então o volume total (determinante) não muda.

Passo 3

Vamos aplicar operações elementares do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” (que não mudam o determinante) para transformar A na matriz identidade. Cada etapa eu mostro a operação e a matriz resultante, lembrando que o determinante permanece o mesmo em todas essas etapas.
Começando com
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 2 & 1 & 0\\\\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Passo 4

Eliminar os elementos abaixo de a_{11}=1 usando R_i \leftarrow R_i - k R_1:
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1.
  • Fazer R_4 \leftarrow R_4 - 8R_1.
Cada uma dessas operações não altera o determinante. Calculando:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 2 & 1 & 0\\\\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_2-2R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 4 & 2 & 1 & 0\\\\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
\overset{R_3-4R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 8 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_4-8R_1}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
Em todas essas transformações, \det permanece igual ao de A.

Passo 5

Agora eliminar os elementos abaixo de a_{22}=1 (segunda coluna) usando R_i \leftarrow R_i - k R_2:
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
  • Fazer R_4 \leftarrow R_4 - 4R_2.
Novamente estas operações não alteram o determinante. Aplicando:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_3-2R_2}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}
\overset{R_4-4R_2}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Passo 6

Eliminar o elemento abaixo de a_{33}=1 usando R_4 \leftarrow R_4 - 2R_3. Isso também não altera o determinante:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_4-2R_3}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Agora chegamos à matriz identidade I_4.

Passo 7

Como todas as operações que fizemos foram do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”, o determinante não mudou em nenhum passo. Portanto
\det(A)=\det(I_4).
O determinante da matriz identidade de ordem 4 é 1 (uma forma simples de ver isso: a identidade é triangular com diagonal (1,1,1,1) e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, ou diretamente porque a identidade representa transformação linear que preserva volumes, então fator de escala =1).

Resposta

1

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