Pergunta: qual é \det(A)?
Informações relevantes dadas: todos os elementos da matriz estão explícitos; ela é uma matriz quadrada 4\times4.
Passo 2
Antes de mexer na matriz, vamos relembrar como operações elementares afetam o determinante (vou explicar com calma e sem pular etapas):
Trocar duas linhas R_i \leftrightarrow R_j multiplica o determinante por -1. Ou seja, se fizermos essa troca, \det muda de sinal.
Multiplicar uma linha por um escalar k, R_i \leftarrow kR_i, multiplica o determinante por k. Ou seja, \det fica k vezes maior.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha, R_i \leftarrow R_i + kR_j (com k qualquer), NÃO altera o determinante. Isso é muito útil porque elimina elementos sem mexer no valor do determinante.
Explicação rápida do terceiro ponto (por que não muda): o determinante é multilinear nas linhas — pensar nisso significa que, visto como função das linhas, é linear em cada linha mantendo as outras fixas. Assim, somar um múltiplo de outra linha a uma linha não altera a combinação multilinear que forma o determinante. Intuitivamente: operações do tipo R_i \leftarrow R_i + kR_j correspondem a adicionar um volume “paralelo” que já está contado, então o volume total (determinante) não muda.
Passo 3
Vamos aplicar operações elementares do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” (que não mudam o determinante) para transformar A na matriz identidade. Cada etapa eu mostro a operação e a matriz resultante, lembrando que o determinante permanece o mesmo em todas essas etapas.
Como todas as operações que fizemos foram do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”, o determinante não mudou em nenhum passo. Portanto
\det(A)=\det(I_4).
O determinante da matriz identidade de ordem 4 é 1 (uma forma simples de ver isso: a identidade é triangular com diagonal (1,1,1,1) e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, ou diretamente porque a identidade representa transformação linear que preserva volumes, então fator de escala =1).