Um relógio de pêndulo feito de invar é preciso a
. Se o relógio for usado num clima onde a temperatura média é de
, qual a correção (aproximadamente) necessária no fim de 30 dias do início da contagem?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- O relógio de pêndulo é preciso a
. - Ele será usado onde a temperatura média é
. - Período de observação:
dias desde o início da contagem. - Pergunta: qual a correção (aproximadamente) necessária ao fim desses
dias? Ou seja, quanto de tempo o relógio estará adiantado/atrasado depois de dias devido à mudança de temperatura? - Informação adicional que usamos: coeficiente de dilatação linear do invar. Tomarei
(valor típico do invar; é pequeno porque o invar tem baixa dilatação térmica).
Passo 2
Ideia física e fórmula do pêndulo: como a temperatura afeta o ritmo do relógio.
- O período de um pêndulo simples, assumindo pequenas oscilações, é dado por
onde
é o comprimento do pêndulo e
a aceleração da gravidade.
- Se o comprimento muda um pouco (por dilatação térmica), o período também muda. Para variações pequenas podemos linearizar: a variação relativa do período
relaciona-se com a variação relativa do comprimento por
Explicando porquê: da fórmula
, derivando
, obtemos
.
- A dilatação linear térmica relaciona
e por
onde
é o coeficiente de dilatação linear (por grau C) e
é a variação de temperatura em graus Celsius.
Passo 3
Combinar as fórmulas para obter a variação relativa do período em função de
e
.
- Substituindo
em obtemos
- Aqui
. - Usando
,
Isso significa que o período aumenta em uma fração de
(ou
); como o período aumenta, o relógio passa a marcar o tempo mais lentamente — ou seja, ele vai atrasar.
Passo 4
Calcular o atraso absoluto em
dias.
- Primeiro converto
dias em segundos (porque é uma fração do tempo total):
- O atraso total aproximado é
- Em unidades mais usuais, isso dá cerca de
, ou aproximadamente . - Em termos práticos: o relógio ficará atrasado cerca de meio segundo por dia (
), totalizando em dias.
Passo 5
Interpretação final e dica prática.
- Sinal: como o comprimento aumenta com a temperatura, o período aumenta e o relógio atrasa. Portanto a correção necessária ao fim de
dias é adiantar o relógio em cerca de para compensar o atraso causado pela temperatura média maior. - Observação pedagógica rápida: se o material tivesse coeficiente de dilatação maior (por exemplo aço comum com
), o atraso seria cerca de vezes maior; por isso usam-se ligas de baixa dilatação como o invar para relógios de precisão.
Resposta
O relógio ficará atrasado cerca de
em
dias (aproximadamente
).