Um relógio de pêndulo feito de invar é preciso a 20^{\circ} \mathrm{C}. Se o relógio for usado num clima onde a temperatura média é de
30^{\circ} \mathrm{C}, qual a correção (aproximadamente) necessária no fim de 30 dias do início da contagem?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • O relógio de pêndulo é preciso a 20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Ele será usado onde a temperatura média é 30^{\circ}\mathrm{C}.
  • Período de observação: 30 dias desde o início da contagem.
  • Pergunta: qual a correção (aproximadamente) necessária ao fim desses 30 dias? Ou seja, quanto de tempo o relógio estará adiantado/atrasado depois de 30 dias devido à mudança de temperatura?
  • Informação adicional que usamos: coeficiente de dilatação linear do invar. Tomarei \alpha = 1{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}} (valor típico do invar; é pequeno porque o invar tem baixa dilatação térmica).

Passo 2

Ideia física e fórmula do pêndulo: como a temperatura afeta o ritmo do relógio.
  • O período de um pêndulo simples, assumindo pequenas oscilações, é dado por
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde \,L é o comprimento do pêndulo e \,g a aceleração da gravidade.
  • Se o comprimento muda um pouco (por dilatação térmica), o período também muda. Para variações pequenas podemos linearizar: a variação relativa do período \Delta T/T relaciona-se com a variação relativa do comprimento \Delta L/L por
\frac{\Delta T}{T} \approx \frac{1}{2}\,\frac{\Delta L}{L}.
Explicando porquê: da fórmula T\propto\sqrt{L}, derivando \ln T = \tfrac{1}{2}\ln L + \text{const}, obtemos \dfrac{dT}{T}=\tfrac{1}{2}\dfrac{dL}{L}.
  • A dilatação linear térmica relaciona \Delta L e \Delta T por
\frac{\Delta L}{L} = \alpha\,\Delta\theta,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (por grau C) e \Delta\theta é a variação de temperatura em graus Celsius.

Passo 3

Combinar as fórmulas para obter a variação relativa do período em função de \alpha e \Delta\theta.
  • Substituindo \dfrac{\Delta L}{L}=\alpha\,\Delta\theta em \dfrac{\Delta T}{T}\approx\tfrac{1}{2}\dfrac{\Delta L}{L} obtemos
\frac{\Delta T}{T}\approx\frac{1}{2}\,\alpha\,\Delta\theta.
  • Aqui \Delta\theta = 30^{\circ}\mathrm{C}-20^{\circ}\mathrm{C}=10^{\circ}\mathrm{C}.
  • Usando \alpha = 1{,}2\times10^{-6}\\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}},
\frac{\Delta T}{T}\approx\frac{1}{2}\times\bigl(1{,}2\times10^{-6}\bigr)\times 10 =6\times10^{-6}.
Isso significa que o período aumenta em uma fração de 6\times10^{-6} (ou 0{,}0006\%); como o período aumenta, o relógio passa a marcar o tempo mais lentamente — ou seja, ele vai atrasar.

Passo 4

Calcular o atraso absoluto em 30 dias.
  • Primeiro converto 30 dias em segundos (porque \Delta T/T é uma fração do tempo total):
30\\ \text{dias} = 30\times24\times3600 = 2\,592\,000\\ \text{s}.
  • O atraso total aproximado é
\Delta t = \left(\frac{\Delta T}{T}\right)\times(\text{tempo real}) = 6\times10^{-6}\times 2\,592\,000 = 15{,}552\\ \text{s}.
  • Em unidades mais usuais, isso dá cerca de 15{,}6\\ \text{s}, ou aproximadamente 16\\ \text{s}.
  • Em termos práticos: o relógio ficará atrasado cerca de meio segundo por dia ( 0{,}5184\\ \text{s/dia}), totalizando \approx15{,}6\\ \text{s} em 30 dias.

Passo 5

Interpretação final e dica prática.
  • Sinal: como o comprimento aumenta com a temperatura, o período aumenta e o relógio atrasa. Portanto a correção necessária ao fim de 30 dias é adiantar o relógio em cerca de 15{,}6\\ \text{s} para compensar o atraso causado pela temperatura média maior.
  • Observação pedagógica rápida: se o material tivesse coeficiente de dilatação maior (por exemplo aço comum com \alpha\sim11\times10^{-6}), o atraso seria cerca de 9{,}2 vezes maior; por isso usam-se ligas de baixa dilatação como o invar para relógios de precisão.

Resposta

O relógio ficará atrasado cerca de 15{,}6\\ \text{s} em 30 dias (aproximadamente 16\\ \text{s}).

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