Um gerador colocado na extremidade de uma corda
), tensionada por uma força de
, produz oscilações dadas por (comprimentos em metros e tempos em segundos)
Obter a equação da onda que se propaga na corda (considerando que seja no sentido positio do eixo
).
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a equação da onda que se propaga na corda no sentido positivo do eixo
:
- Densidade linear de massa:
. - Tensão na corda:
. - Movimento imposto na extremidade
: (unidades: metros e segundos). - O que se pede: a equação da onda
que se propaga ao longo da corda no sentido positivo de , compatível com a condição na extremidade.
Passo 2
Forma geral de uma onda harmônica progressiva:
Uma onda harmônica que se propaga sem deformação pode ser escrita em geral como
onde:
-
é a amplitude (metros); -
é o número de onda (rad/m), que relaciona-se com o comprimento de onda por ; -
é a frequência angular (rad/s), relacionada com o período por ; -
é a fase inicial (rad).
A combinação(com sinal negativo) representa uma onda que se desloca no sentido positivo de .
Passo 3
Velocidade de propagação na corda:
Para uma corda tensa, a velocidade de propagação da onda é dada por
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Frequência angular
e período:
Da condição na extremidade
identifica-se imediatamente a frequência angular
O período da oscilação é
Passo 5
Número de onda
:
A relação entre
,
e
é
Calculando:
Passo 6
Determinar a fase
usando a condição em
:
Se adotarmos a forma padrão para onda que vai para
,
então em
temos
Queremos isso igual a
para todo
. Como
, isso exige
e
A escolha mais simples que satisfaz isso é
(ou equivalentes
). Assim tomamos
.
Observação: devido à paridade do cosseno (
), tanto
quanto
dão a mesma forma em
; escolhemos a forma
porque indica explicitamente propagação no sentido positivo de
.
Passo 7
Escrever a equação final da onda e calcular o comprimento de onda (informação extra útil):
Com
,
e
, a equação da onda que se propaga para
é
O comprimento de onda é