Um gerador colocado na extremidade de uma corda (\mu= 0.010 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} ), tensionada por uma força de 4,0 N, produz oscilações dadas por (comprimentos em metros e tempos em segundos)
Y(0, t)=0,10 \cos 6 t
Obter a equação da onda que se propaga na corda (considerando que seja no sentido positio do eixo x ).

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a equação da onda que se propaga na corda no sentido positivo do eixo x:
  • Densidade linear de massa: \mu = 0,010\\ \mathrm{kg/m}.
  • Tensão na corda: T = 4,0\\ \mathrm{N}.
  • Movimento imposto na extremidade x=0: \displaystyle Y(0,t)=0,10\cos 6t (unidades: metros e segundos).
  • O que se pede: a equação da onda Y(x,t) que se propaga ao longo da corda no sentido positivo de x, compatível com a condição na extremidade.

Passo 2

Forma geral de uma onda harmônica progressiva:
Uma onda harmônica que se propaga sem deformação pode ser escrita em geral como
Y(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (metros);
  • k é o número de onda (rad/m), que relaciona-se com o comprimento de onda \lambda por \displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a frequência angular (rad/s), relacionada com o período T_{\text{per}} por \displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T_{\text{per}}};
  • \varphi é a fase inicial (rad).
    A combinação kx-\omega t (com sinal negativo) representa uma onda que se desloca no sentido positivo de x.

Passo 3

Velocidade de propagação na corda:
Para uma corda tensa, a velocidade de propagação da onda é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Substituindo os valores fornecidos:
v=\sqrt{\frac{4,0}{0,010}}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Frequência angular \omega e período:
Da condição na extremidade Y(0,t)=0,10\cos 6t identifica-se imediatamente a frequência angular
\omega=6\\ \mathrm{rad/s}.
O período da oscilação é
T_{\text{per}}=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\approx1,047\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Número de onda k:
A relação entre \omega, k e v é
v=\frac{\omega}{k}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\omega}{v}.
Calculando:
k=\frac{6}{20}=0,30\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Determinar a fase \varphi usando a condição em x=0:
Se adotarmos a forma padrão para onda que vai para +x,
Y(x,t)=A\cos\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
então em x=0 temos
Y(0,t)=A\cos\bigl(-\omega t+\varphi\bigr).
Queremos isso igual a 0,10\cos 6t para todo t. Como \omega=6, isso exige
A=0,10
e
\cos\bigl(-\omega t+\varphi\bigr)=\cos(\omega t)\quad\text{para todo }t.
A escolha mais simples que satisfaz isso é \varphi=0 (ou equivalentes \varphi=2\pi n). Assim tomamos \varphi=0.
Observação: devido à paridade do cosseno ( \cos(-\theta)=\cos\theta), tanto \cos(kx-\omega t) quanto \cos(\omega t - kx) dão a mesma forma em x=0; escolhemos a forma kx-\omega t porque indica explicitamente propagação no sentido positivo de x.

Passo 7

Escrever a equação final da onda e calcular o comprimento de onda (informação extra útil):
Com A=0,10, k=0,30\\ \mathrm{rad/m} e \omega=6\\ \mathrm{rad/s}, a equação da onda que se propaga para +x é
Y(x,t)=0,10\cos\bigl(0,30\,x-6\,t\bigr).
O comprimento de onda é
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{0,30}\approx20,94\\ \mathrm{m}.

Resposta

Y(x,t)=0,10\cos\bigl(0,30\,x-6\,t\bigr)

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