Um oscilador produz pulsos senoidais na extremidade de uma corda de massa
, comprimento 10 m e esticada com uma força de
. Possuem frequência de 10 Hz , amplitude
e caminham no sentido positivo do eixo
. Qual a velocidade da onda? Qual a função
que descreve o movimento ondulatório, sabendo que em
e
temos
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (peguei-os do enunciado):
- massa da corda:
. - comprimento da corda:
. - força de tensão:
. - frequência da oscilação:
. - amplitude dos pulsos:
. - os pulsos caminham no sentido positivo de
(ou seja, deslocamento de onda para ). - condição inicial: em
e temos .
- massa da corda:
- Perguntas:
- Qual a velocidade da onda
? - Qual a função
que descreve o movimento ondulatório, respeitando a condição inicial dada?
- Qual a velocidade da onda
Passo 2
Calcular a massa linear (densidade linear) da corda
.
- Definição:
é a massa por unidade de comprimento da corda, dada por onde é a massa total da corda (em kg) e seu comprimento (em m). A unidade de é . - Substituindo os valores:
Passo 3
Determinar a velocidade da onda
numa corda esticada.
- Conceito e fórmula: para ondas transversais pequenas numa corda esticada, a velocidade depende da tensão e da densidade linear. A fórmula é
onde é a tensão (força que estica a corda, em N) e é a massa por unidade de comprimento (em ). Intuição rápida: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto mais pesada a corda por metro, mais lenta. - Substituindo
e : - Verificação de unidades:
, a raiz dá , ok.
Passo 4
Determinar a frequência angular
e interpretar.
- Definição: a frequência angular
está relacionada com a frequência por onde tem unidade e tem unidade (ciclos por segundo). - Substituindo
:
Passo 5
Determinar o número de onda
e o comprimento de onda
.
- Relação entre
, e : para uma onda harmônica viajando com velocidade vale onde é o número de onda (unidade ) e relaciona-se com o comprimento de onda por . - Substituindo
e : - Comprimento de onda
: Alternativamente , mesmo resultado.
Passo 6
Escrever a forma geral da onda que viaja para
e explicar variáveis.
- Forma geral (onda senoidal viajando para
): Onde: -
é o deslocamento transverse em metros no ponto e instante . -
é a amplitude máxima (em m). -
é o número de onda ( ). -
é a frequência angular ( ). -
é a constante de fase inicial (em radianos) — ajusta o valor inicial da onda.
-
- Observação sobre o sinal: o argumento
descreve uma onda que se desloca para valores crescentes de quando o tempo aumenta (sentido ), que é o caso pedido.
Passo 7
Aplicar a condição inicial para encontrar a fase
.
- Condição dada: em
e tem . - Na forma geral:
Com , isso dá - Solução para
: tem soluções Ou seja, duas classes de soluções dentro de : ou . - Comentário físico (bom para prova): ambas as fases dão o mesmo deslocamento naquele instante, mas diferem na derivada temporal (velocidade transverse inicial) em
. Como o enunciado não fornece a velocidade inicial, a fase não é unicamente determinada. Na prática escolhe-se a solução mais simples (ângulo positivo pequeno). Vou adotar .
Passo 8
Escrever a função
final substituindo todos os valores numéricos.
- Substituindo
, , e , obtemos - Observação: caso alguém preferisse a outra solução para
, poderia usar e ainda satisfazer a condição . Como não há informação adicional, a resposta com é a escolha natural e simples.