Um oscilador produz pulsos senoidais na extremidade de uma corda de massa 2,0 \mathrm{~kg}, comprimento 10 m e esticada com uma força de 5,0 \mathrm{~N}. Possuem frequência de 10 Hz , amplitude 0,10 \mathrm{~m} e caminham no sentido positivo do eixo x. Qual a velocidade da onda? Qual a função Y(x, t) que descreve o movimento ondulatório, sabendo que em t=0 e x=0 temos Y=0,05 m ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei-os do enunciado):
    • massa da corda: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • comprimento da corda: L=10\\ \mathrm{m}.
    • força de tensão: T=5{,}0\\ \mathrm{N}.
    • frequência da oscilação: f=10\\ \mathrm{Hz}.
    • amplitude dos pulsos: A=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • os pulsos caminham no sentido positivo de x (ou seja, deslocamento de onda para +x).
    • condição inicial: em t=0 e x=0 temos Y=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    1. Qual a velocidade da onda v?
    2. Qual a função Y(x,t) que descreve o movimento ondulatório, respeitando a condição inicial dada?

Passo 2

Calcular a massa linear (densidade linear) da corda \mu.
  • Definição: \mu é a massa por unidade de comprimento da corda, dada por \mu=\frac{m}{L},onde m é a massa total da corda (em kg) e L seu comprimento (em m). A unidade de \mu é \mathrm{kg/m}.
  • Substituindo os valores: \mu=\frac{2{,}0}{10}=0{,}20\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Determinar a velocidade da onda v numa corda esticada.
  • Conceito e fórmula: para ondas transversais pequenas numa corda esticada, a velocidade depende da tensão e da densidade linear. A fórmula é v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},onde T é a tensão (força que estica a corda, em N) e \mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}). Intuição rápida: quanto maior a tensão, mais rápida a onda; quanto mais pesada a corda por metro, mais lenta.
  • Substituindo T=5{,}0\\ \mathrm{N} e \mu=0{,}20\\ \mathrm{kg/m}: v=\sqrt{\frac{5{,}0}{0{,}20}}=\sqrt{25}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação de unidades: \mathrm{N}/(\mathrm{kg/m})=(\mathrm{kg\cdot m/s^2})/(\mathrm{kg/m})=\mathrm{m^2/s^2}, a raiz dá \mathrm{m/s}, ok.

Passo 4

Determinar a frequência angular \omega e interpretar.
  • Definição: a frequência angular \omega está relacionada com a frequência f por \omega=2\pi f,onde \omega tem unidade \mathrm{rad/s} e f tem unidade \mathrm{Hz} (ciclos por segundo).
  • Substituindo f=10\\ \mathrm{Hz}: \omega=2\pi\cdot10=20\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Determinar o número de onda k e o comprimento de onda \lambda.
  • Relação entre \omega, k e v: para uma onda harmônica viajando com velocidade v vale v=\frac{\omega}{k}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\omega}{v},onde k é o número de onda (unidade \mathrm{rad/m}) e relaciona-se com o comprimento de onda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • Substituindo \omega=20\pi\\ \mathrm{rad/s} e v=5{,}0\\ \mathrm{m/s}: k=\frac{20\pi}{5}=4\pi\\ \mathrm{rad/m}.
  • Comprimento de onda \lambda: \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}=0{,}50\\ \mathrm{m}.Alternativamente \lambda=v/f=5{,}0/10=0{,}50\\ \mathrm{m}, mesmo resultado.

Passo 6

Escrever a forma geral da onda que viaja para +x e explicar variáveis.
  • Forma geral (onda senoidal viajando para +x): Y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr).Onde:
    • Y(x,t) é o deslocamento transverse em metros no ponto x e instante t.
    • A é a amplitude máxima (em m).
    • k é o número de onda ( \mathrm{rad/m}).
    • \omega é a frequência angular ( \mathrm{rad/s}).
    • \varphi é a constante de fase inicial (em radianos) — ajusta o valor inicial da onda.
  • Observação sobre o sinal: o argumento kx-\omega t descreve uma onda que se desloca para valores crescentes de x quando o tempo aumenta (sentido +x), que é o caso pedido.

Passo 7

Aplicar a condição inicial para encontrar a fase \varphi.
  • Condição dada: em t=0 e x=0 tem Y(0,0)=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Na forma geral: Y(0,0)=A\sin(\varphi).Com A=0{,}10\\ \mathrm{m}, isso dá 0{,}05=0{,}10\sin(\varphi)\quad\Longrightarrow\quad \sin(\varphi)=\frac{0{,}05}{0{,}10}=0{,}5.
  • Solução para \varphi: \sin(\varphi)=0{,}5 tem soluções \varphi=\frac{\pi}{6}+2\pi n\quad\text{ou}\quad \varphi=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.Ou seja, duas classes de soluções dentro de [0,2\pi): \varphi=\pi/6 ou \varphi=5\pi/6.
  • Comentário físico (bom para prova): ambas as fases dão o mesmo deslocamento naquele instante, mas diferem na derivada temporal (velocidade transverse inicial) em x=0,t=0. Como o enunciado não fornece a velocidade inicial, a fase não é unicamente determinada. Na prática escolhe-se a solução mais simples \varphi=\pi/6 (ângulo positivo pequeno). Vou adotar \varphi=\pi/6.

Passo 8

Escrever a função Y(x,t) final substituindo todos os valores numéricos.
  • Substituindo A=0{,}10\\ \mathrm{m}, k=4\pi\\ \mathrm{rad/m}, \omega=20\pi\\ \mathrm{rad/s} e \varphi=\pi/6, obtemos Y(x,t)=0{,}10\sin\bigl(4\pi x-20\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \mathrm{m}.
  • Observação: caso alguém preferisse a outra solução para \varphi, poderia usar \varphi=5\pi/6 e ainda satisfazer a condição Y(0,0)=0{,}05\\ \mathrm{m}. Como não há informação adicional, a resposta com \varphi=\pi/6 é a escolha natural e simples.

Resposta

v=5{,}0\\ \mathrm{m/s}
Y(x,t)=0{,}10\sin\bigl(4\pi x-20\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\\ \mathrm{m}

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