Um relógio de pêndulo é projetado para efetuar uma oscilação completa por segundo, em uma temperatura ambiente de 20^circ C. Determinar o atraso diário se a temperatura ambiental é 28^circ C e o coeficiente de expansão térmica da haste do pêndulo é alpha=22,2 times 10^-6 mm / ^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A questão é de Física – pêndulo simples e dilatação térmica.
Enunciado curto: o relógio tem um pêndulo que faz 1 oscilação por segundo a 20 °C. Se a temperatura sobe pra 28 °C, a haste do pêndulo cresce (coeficiente α=22,2×10⁻⁶ °C⁻¹) e o relógio atrasa.
O que precisamos:
  1. Fórmula do período do pêndulo simples,
  2. Como a dilatação linear muda o comprimento,
  3. Como isso altera o período e, daí, calcular quanto tempo de atraso dá num dia.

Passo 2

Teoria do período do pêndulo simples:
T ;=; 2pi raizLg
Onde T é o período, L o comprimento da haste e g≈9,8 m/s².
Como o relógio tá calibrado pra T=1 s a 20 °C, chamamos esse comprimento de 1 = 2pi raizL0g Longrightarrow L0 = g4pi^2 .
Então

Passo 3

Agora, com a temperatura subindo ΔT = 28−20 = 8 °C, a dilatação faz o novo comprimento ser
L = L0l(1 + alpha,De
Logo o novo período T′ fica
T' = 2pi raizLg = 2pi raizL0,(1+alpha,De
Como T=1 s originalmente,
T' = raiz1 + alpha,De

Passo 4

Vamos pôr os números:
α·ΔT = (22{,}2×10⁻⁶)(8) = 177,6×10⁻⁶ = 1,776×10⁻⁴.
Então
T' = raiz1 + 1,776×10^-4
Para um valor pequeno ε = 1,776×10⁻⁴, usamos a aproximação
T' approx 1 + 1,776×10^-42 = 1 + 8,88×10^-5(em segundos) ,
então

Passo 5

O atraso por oscilação é
De
Num dia tem 86 400 oscilação (porque cada oscilação idealmente levava 1 s), então o atraso diário é
De

Resposta

O relógio atrasa cerca de 7,7 segundos por dia.

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