Um relógio de pêndulo é projetado para efetuar uma oscilação completa por segundo, em uma temperatura ambiente de
. Determinar o atraso diário se a temperatura ambiental é
e o coeficiente de expansão térmica da haste do pêndulo é
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A questão é de Física – pêndulo simples e dilatação térmica.
Enunciado curto: o relógio tem um pêndulo que faz 1 oscilação por segundo a 20 °C. Se a temperatura sobe pra 28 °C, a haste do pêndulo cresce (coeficiente α=22,2×10⁻⁶ °C⁻¹) e o relógio atrasa.
O que precisamos:
Enunciado curto: o relógio tem um pêndulo que faz 1 oscilação por segundo a 20 °C. Se a temperatura sobe pra 28 °C, a haste do pêndulo cresce (coeficiente α=22,2×10⁻⁶ °C⁻¹) e o relógio atrasa.
O que precisamos:
- Fórmula do período do pêndulo simples,
- Como a dilatação linear muda o comprimento,
- Como isso altera o período e, daí, calcular quanto tempo de atraso dá num dia.
Passo 2
Teoria do período do pêndulo simples:
Onde T é o período, L o comprimento da haste e g≈9,8 m/s².
Como o relógio tá calibrado pra T=1 s a 20 °C, chamamos esse comprimento de .
Então
Como o relógio tá calibrado pra T=1 s a 20 °C, chamamos esse comprimento de
Então
Passo 3
Agora, com a temperatura subindo ΔT = 28−20 = 8 °C, a dilatação faz o novo comprimento ser
Logo o novo período T′ fica
Como T=1 s originalmente,
Passo 4
Vamos pôr os números:
α·ΔT = (22{,}2×10⁻⁶)(8) = 177,6×10⁻⁶ = 1,776×10⁻⁴.
Então
α·ΔT = (22{,}2×10⁻⁶)(8) = 177,6×10⁻⁶ = 1,776×10⁻⁴.
Então
Para um valor pequeno ε = 1,776×10⁻⁴, usamos a aproximação
,
então
então
Passo 5
O atraso por oscilação é
Num dia tem 86 400 oscilação (porque cada oscilação idealmente levava 1 s), então o atraso diário é
Resposta
O relógio atrasa cerca de 7,7 segundos por dia.