Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
(c) r(t)=(13 t^3, 12 t^2).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
vec r(t)=l(tfrac13t^3,;tfrac12t^2r)
pelo comprimento de arco s contado a partir de t=0 no sentido de t crescente. Vamos usar o conceito de velocidade |vec r,'(t)|, integrar para achar s(t), inverter essa relação e substituir de volta em vec r(t).

Passo 2

Calculamos a derivada e a velocidade:
vec r,'(t)=l(t^2,;tr),
|vec r,'(t)|=raiz(t^2)^2 + t^2 =raizt^4 + t^2 =traizt^2+1, t>=0

Passo 3

O comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=integral0^t|vec r,'(u)|,du =integral0^turaizu^2+1,du
Fazendo a substituição v=u^2+1, dv=2u,du, vem
s(t) =12integralv(0)=1^v(t)=t^2+1!v^1/2dv =12cdot23l[v^3/2r]1^t^2+1 =13l((t^2+1)^3/2-1r)

Passo 4

Agora invertemos s(t). Escrevendo
s=13l((t^2+1)^3/2-1r) ;Longrightarrow; (t^2+1)^3/2=3s+1 ;Longrightarrow; t^2+1=(3s+1)^2/3 ;Longrightarrow; t=raiz(3s+1)^2/3-1

Passo 5

Substituímos t(s) em vec r(t):
x(s)=13,t(s)^3 =13l(raiz(3s+1)^2/3-1r)^3 =13l((3s+1)^2/3-1r)^3/2,
y(s)=12,t(s)^2 =12l((3s+1)^2/3-1r)

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco s é
boxed vec R(s) =gl( 13l((3s+1)^2/3-1r)^3/2,; 12l((3s+1)^2/3-1r) gr), s>=0

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