Considere a curva C parametrizada por
r(t)=(cos t+t sin t, sin t-t cos t, 12 t^2), 0 <= t <= ell
(a) Para cada valor do parâmetro t, encontre um vetor tangente e um vetor tangente unitário no ponto correspondente de C.

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente e o vetor tangente unitário para a curva
vec r(t)=(cos t + tsin t,;sin t - tcos t,;tfrac12t^2),
com 0<= t<= ell. Estamos em Cálculo Vetorial: para achar o vetor tangente basta derivar componente a componente; para o vetor tangente unitário, normalizamos esse vetor.

Passo 2

Derivando cada componente de vec r(t) em relação a t, obtemos
vec r,'(t) =l(,-sin t +sin t +tcos t,;cos t -cos t +tsin t,;tr) =(,tcos t,;tsin t,;t),

Passo 3

Calculamos a norma de vec r,'(t) para t>0:
|vec r,'(t)| =raiz(tcos t)^2+(tsin t)^2+t^2 =raizt^2(cos^2t+sin^2t+1) =raiz2,t^2 =traiz2

Passo 4

O vetor tangente unitário é
vec T(t) =vec r,'(t)|vec r,'(t)| =l(tcos ttraiz2,;tsin ttraiz2,;ttraiz2r) =l(tfraccos traiz2,;tfracsin traiz2,;tfrac1raiz2r),
válido para t>0. Em t=0, vec r,'(0)=(0,0,0) e o vetor unitário não está definido.

Resposta

vec r,'(t)=(tcos t,;tsin t,;t),
vec T(t)=l(tfraccos traiz2,;tfracsin traiz2,;tfrac1raiz2r) para t>0.

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