Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t:
(e) r(t)=(a cos t, a sin t, c t).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a partir de t=0, ou seja, encontrar s(t)=∫₀ᵗ‖r’(τ)‖dτ e depois inverter para t(s). Vamos usar o conceito de comprimento de arco: para uma curva r(t), a função s(t) dá a distância percorrida desde t=0 até t.

Passo 2

Calculamos a derivada
r'(t)=(-asin t,;acos t,;c)
e então a velocidade (norma de r’) é constante.

Passo 3

A norma de r'(t) é
|r'(t)|=raiz(-asin t)^2+(acos t)^2+c^2=raiza^2+c^2
Como isso não depende de t, o comprimento de arco é fácil de obter.

Passo 4

O comprimento de arco s(t) é
s(t)=integral0^t|r'(τ)|,dτ=integral0^traiza^2+c^2,dτ=raiza^2+c^2;t
Invertendo, obtemos
t=sraiza^2+c^2

Passo 5

Bastar substituir t(s) em r(t). Logo a reparametrização por comprimento de arco é
R(s)=rl(t(s)r)=l(acosl(tfracsraiza^2+c^2r),;asinl(tfracsraiza^2+c^2r),;c,tfracsraiza^2+c^2r)

Resposta

R(s)=\Bigl(a\cos\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a2+c2}}\bigr),;a\sin\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a2+c2}}\bigr),;\frac{c}{\sqrt{a2+c2}},s\Bigr).

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