Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde
na direção crescente de
:
(e)
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a partir de t=0, ou seja, encontrar s(t)=∫₀ᵗ‖r’(τ)‖dτ e depois inverter para t(s). Vamos usar o conceito de comprimento de arco: para uma curva r(t), a função s(t) dá a distância percorrida desde t=0 até t.
Passo 2
Calculamos a derivada
e então a velocidade (norma de r’) é constante.
Passo 3
A norma de
é
Como isso não depende de t, o comprimento de arco é fácil de obter.
Passo 4
O comprimento de arco s(t) é
Invertendo, obtemos
Passo 5
Bastar substituir t(s) em r(t). Logo a reparametrização por comprimento de arco é
Resposta
R(s)=\Bigl(a\cos\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a2+c2}}\bigr),;a\sin\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{a2+c2}}\bigr),;\frac{c}{\sqrt{a2+c2}},s\Bigr).