Seja a superfície S parte do paraboloide z=x^2+y^2 que se encontra abaixo do plano z=1.
Obtenha uma parametrização para S usando coordenadas polares.

Passo 1

O exercício pede parametrizar a parte do paraboloide z = x^2 + y^2 que está abaixo do plano z = 1, usando coordenadas polares para descrever uma superfície em termos de dois parâmetros.

Passo 2

Em coordenadas polares, temos x = rcostheta e y = rsintheta. Como z = x^2 + y^2, ao substituir obtemos z = r^2.

Passo 3

A região projetada no plano xy corresponde ao disco x^2 + y^2 <= 1, ou seja, 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi.

Resposta

A parametrização é
r(r,theta)=l(rcostheta,;rsintheta,;r^2r), 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi

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