Calcule os seguintes limites:
lim x 0 tg(a x)b x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 tan(a x)b x. Esse exercício está ligado ao estudo de limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar de alguns limites fundamentais das funções trigonométricas e como manipulá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite importante: limx to 0 tan(x)x = 1. Esse resultado é bastante útil quando estamos trabalhando com limites que envolvem funções trigonométricas próximas de zero.

Passo 3

No nosso caso, temos tan(a x)b x. Para usar o limite que acabamos de lembrar, vamos reescrever essa expressão de forma que fique mais parecido com tan(x)x. Podemos separar os coeficientes a e b da seguinte maneira:
tan(a x)b x = tan(a x)a x cdot ab

Passo 4

Agora, observamos que tan(a x)a x é semelhante a tan(x)x, mas com a x no lugar de x. Sabemos que quando x tende a zero, a x também tende a zero. Portanto, podemos aplicar o limite que conhecemos:
limx to 0 tan(a x)a x = 1

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão que reescrevemos, temos:
limx to 0 tan(a x)b x = ( limx to 0 tan(a x)a x ) cdot ab = 1 cdot ab = ab

Resposta

O limite lim x 0 tan(a x)b x é igual a ab.

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