Repita o Prob. 2.2-1 para
D(D+1) y(t)=(D+2) x(t)
e y_{0}\left(0^{-}\right)=\dot{y}_{0}\left(0^{-}\right)=1.

Passo 1

O enunciado pede para repetir o exercício anterior para a equação diferencial
D(D+1)\,y(t) = (D+2)\,x(t)
com as condições iniciais da resposta de zero-entrada dadas por
y_{0}\bigl(0^{-}\bigr)=1,\qquad \dot{y}_{0}\bigl(0^{-}\bigr)=1.
Aqui D é o operador diferencial, ou seja D y(t)=\dfrac{d}{dt}y(t).
O que se quer obter é a resposta de zero-entrada y_{0}(t): a solução do sistema devido APENAS às condições iniciais, assumindo x(t)=0 para t\ge 0. As condições são fornecidas no instante imediatamente antes de t=0 (notação 0^{-}); para sistemas sem impulso aplicado em t=0 a função e sua derivada são contínuas então podemos usar esses valores como y_{0}(0) e \dot y_{0}(0).

Passo 2

Escrevendo explicitamente a equação homogênea para a resposta de zero-entrada (colocando x(t)=0 para t\ge0):
D(D+1)\,y_{0}(t)=0.
Essa é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Expandindo em derivadas,
D(D+1)\,y_{0}(t)=\bigl(D^{2}+D\bigr)y_{0}(t)=0,
ou seja
\ddot{y}_{0}(t)+\dot{y}_{0}(t)=0.
Vamos resolver essa ODE homogênea.

Passo 3

Método padrão: buscar soluções da forma y_{0}(t)=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico
r^{2}+r=0.
Esse polinômio é
r(r+1)=0,
portanto as raízes são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=-1.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea (para t\ge0) é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{0}(t)=C_{1}e^{0\cdot t}+C_{2}e^{-t}=C_{1}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar a partir das condições iniciais. Explico: C_{1} multiplica a solução associada à raiz r=0 (que é constante), e C_{2} multiplica e^{-t} associada à raiz r=-1.

Passo 5

Calcular a derivada para aplicar a condição inicial da derivada:
\dot{y}_{0}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(C_{1}+C_{2}e^{-t}\bigr)= -C_{2}e^{-t}\cdot(-1)?\\ \text{(atenção: calcule corretamente)}çã
Vamos fazer devagar e certo: \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}. Logo
\dot{y}_{0}(t)= -C_{2}e^{-t}.
Agora avaliamos em t=0. Como explicado no Passo 1, não há impulso em t=0 (estamos tratando zero-entrada), então podemos usar as condições dadas como valores em t=0:
y_{0}(0)=C_{1}+C_{2}=1,
\dot{y}_{0}(0)=-C_{2}=1.

Passo 6

Resolver o sistema para C_{1},C_{2}. Da segunda equação vem
-C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-1.
Substituindo na primeira:
C_{1}+(-1)=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.

Passo 7

Portanto a resposta de zero-entrada é
y_{0}(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}=2 - e^{-t},
válida para t\ge 0. Sempre que precisar, pode checar substituindo na equação homogênea:
\ddot{y}_{0}(t)+\dot{y}_{0}(t)=(-e^{-t})+(e^{-t})=0,
confirmação OK, e as condições iniciais também conferem:
y_{0}(0)=2-1=1,\qquad \dot{y}_{0}(0)= -(-1)e^{-0}=1.

Resposta

y_{0}(t)=2 - e^{-t},\quad t\ge 0.

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