Repita o Prob. 2.2-1 para
e
.
Passo 1
O enunciado pede para repetir o exercício anterior para a equação diferencial
com as condições iniciais da resposta de zero-entrada dadas por
Aqui
é o operador diferencial, ou seja
.
O que se quer obter é a resposta de zero-entrada : a solução do sistema devido APENAS às condições iniciais, assumindo
para
. As condições são fornecidas no instante imediatamente antes de
(notação
); para sistemas sem impulso aplicado em
a função e sua derivada são contínuas então podemos usar esses valores como
e
.
O que se quer obter é a resposta de zero-entrada
Passo 2
Escrevendo explicitamente a equação homogênea para a resposta de zero-entrada (colocando
para
):
Essa é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Expandindo em derivadas,
ou seja
Vamos resolver essa ODE homogênea.
Passo 3
Método padrão: buscar soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico
Esse polinômio é
portanto as raízes são
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea (para
) é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar a partir das condições iniciais. Explico:
multiplica a solução associada à raiz
(que é constante), e
multiplica
associada à raiz
.
Passo 5
Calcular a derivada para aplicar a condição inicial da derivada:
Vamos fazer devagar e certo:
. Logo
Agora avaliamos em
. Como explicado no Passo 1, não há impulso em
(estamos tratando zero-entrada), então podemos usar as condições dadas como valores em
:
Passo 6
Resolver o sistema para
. Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Passo 7
Portanto a resposta de zero-entrada é
válida para
. Sempre que precisar, pode checar substituindo na equação homogênea:
confirmação OK, e as condições iniciais também conferem: