2.4-4 Usando a integração direta, determine
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução entre duas sinais exponenciais causais, escrita como
. Informações/dados que temos:
- A primeira função é
. - A segunda função está escrita com variável
, isto é . Para a convolução em tempo usamos uma variável dummy; portanto trataremos quando a colocarmos na integral de convolução (a variável de integração será ). - Os parâmetros
e são constantes (assumir reais).
O que se pede: calcular explicitamenteusando integração direta, mostrando o caso geral e o caso degenerado quando .
Passo 2
Definição de convolução (lembrando o significado de cada termo): para duas funções
e
,
onde
é a variável de integração (dummy). Aqui
e
.
Passo 3
Analisar o suporte (onde a integrando é diferente de zero) para simplificar os limites da integral:
-
somente quando . -
somente quando , isto é .
Portanto a integrandoé não-nula apenas quando satisfaz . Se não existe que satisfaça isso, logo para . Concluímos que o resultado será multiplicado por . Para a integral fica
Passo 4
Simplificar a integranda para facilitar a integração:
Agora precisamos avaliar
. Há duas situações distintas:
e
. Vamos tratar cada uma.
Passo 5
Caso
. Integrando uma exponencial com razão
:
Multiplicando por
obtemos
Uma forma equivalente, trocando sinal no numerador e denominador, é
Não esquecer o fator de causalidade: este resultado vale para
, portanto o resultado completo é multiplicado por
.
Passo 6
Caso
. Substituindo
na integral original:
Logo, para
obtemos
para
, ou multiplicando por
para a expressão válida para todo
.
Passo 7
Resumo e observação final (checagem rápida): os dois resultados são contínuos em
e o caso limite
de
realmente tende a
, portanto as expressões estão coerentes entre si.