2.4-4 Usando a integração direta, determine e^{-a t} u(t) * e^{-b r} u(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução entre duas sinais exponenciais causais, escrita como e^{-a t} u(t) * e^{-b r} u(t). Informações/dados que temos:
  • A primeira função é f(t)=e^{-a t}u(t).
  • A segunda função está escrita com variável r, isto é g(r)=e^{-b r}u(r). Para a convolução em tempo usamos uma variável dummy; portanto trataremos g(t)=e^{-b t}u(t) quando a colocarmos na integral de convolução (a variável de integração será \tau).
  • Os parâmetros a e b são constantes (assumir reais).
    O que se pede: calcular explicitamente (f*g)(t) usando integração direta, mostrando o caso geral e o caso degenerado quando a=b.

Passo 2

Definição de convolução (lembrando o significado de cada termo): para duas funções f e g,
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau,
onde \tau é a variável de integração (dummy). Aqui f(\tau)=e^{-a\tau}u(\tau) e g(t-\tau)=e^{-b(t-\tau)}u(t-\tau).

Passo 3

Analisar o suporte (onde a integrando é diferente de zero) para simplificar os limites da integral:
  • u(\tau)=1 somente quando \tau\ge 0.
  • u(t-\tau)=1 somente quando t-\tau\ge 0, isto é \tau\le t.
    Portanto a integrando f(\tau)g(t-\tau) é não-nula apenas quando \tau satisfaz 0\le \tau\le t. Se t<0 não existe \tau que satisfaça isso, logo (f*g)(t)=0 para t<0. Concluímos que o resultado será multiplicado por u(t). Para t\ge 0 a integral fica
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} e^{-a\tau}\,e^{-b(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 4

Simplificar a integranda para facilitar a integração:
\int_{0}^{t} e^{-a\tau}\,e^{-b(t-\tau)}\,d\tau = e^{-b t}\int_{0}^{t} e^{-(a-b)\tau}\,d\tau.
Agora precisamos avaliar \displaystyle \int_{0}^{t} e^{-(a-b)\tau}\,d\tau. Há duas situações distintas: a\neq b e a=b. Vamos tratar cada uma.

Passo 5

Caso a\neq b. Integrando uma exponencial com razão -(a-b):
\int_{0}^{t} e^{-(a-b)\tau}\,d\tau = \left[\frac{e^{-(a-b)\tau}}{-(a-b)}\right]_{0}^{t} = \frac{1-e^{-(a-b)t}}{a-b}.
Multiplicando por e^{-b t} obtemos
(f*g)(t)=e^{-b t}\cdot\frac{1-e^{-(a-b)t}}{a-b} =\frac{e^{-b t}-e^{-a t}}{a-b}.
Uma forma equivalente, trocando sinal no numerador e denominador, é
(f*g)(t)=\frac{e^{-a t}-e^{-b t}}{b-a}.
Não esquecer o fator de causalidade: este resultado vale para t\ge 0, portanto o resultado completo é multiplicado por u(t).

Passo 6

Caso a=b. Substituindo b=a na integral original:
\int_{0}^{t} e^{-a\tau}\,e^{-a(t-\tau)}\,d\tau = e^{-a t}\int_{0}^{t} d\tau = t\,e^{-a t}.
Logo, para a=b obtemos (f*g)(t)=t\,e^{-a t} para t\ge 0, ou multiplicando por u(t) para a expressão válida para todo t.

Passo 7

Resumo e observação final (checagem rápida): os dois resultados são contínuos em t e o caso limite a\to b de \dfrac{e^{-b t}-e^{-a t}}{a-b} realmente tende a t e^{-a t}, portanto as expressões estão coerentes entre si.

Resposta

(e^{-a t}u(t)*e^{-b t}u(t))(t)= \begin{cases} \dfrac{e^{-b t}-e^{-a t}}{a-b}\,u(t), & a\neq b,\\[8pt] t\,e^{-a t}\,u(t), & a=b. \end{cases}]

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