Dada a fórmula f(x)=-x^{2}+8 x-12
(a) Determine analiticamente (isto é, usando derivação) o máximo e o valor correspondente de x para essa função.
(b) Verifique que a Equação
x_{3}=\frac{f\left(x_{0}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)+f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}^{2}-x_{0}^{2}\right)+f\left(x_{2}\right)\left(x_{0}^{2}-x_{1}^{2}\right)}{2 f\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)+2 f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)+2 f\left(x_{2}\right)\left(x_{0}-x_{1}\right)}
fornece o mesmo resultado, com base nas aproximações iniciais x_{0}=0, x_{1}=2 e x_{2}=6.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x^{2}+8x-12 e pede duas coisas:
(a) Determine analiticamente (usando derivação) o máximo da função e o valor de x onde esse máximo ocorre.
(b) Verifique que a expressão
x_{3}=\frac{f\left(x_{0}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)+f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}^{2}-x_{0}^{2}\right)+f\left(x_{2}\right)\left(x_{0}^{2}-x_{1}^{2}\right)}{2 f\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)+2 f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)+2 f\left(x_{2}\right)\left(x_{0}-x_{1}\right)}
fornece o mesmo resultado quando as aproximações iniciais são x_{0}=0, x_{1}=2 e x_{2}=6.
Informações relevantes dadas:
  • A função explicitamente: f(x)=-x^{2}+8x-12.
  • Para (a) usar derivação (isto é, calcular f'(x) etc.).
  • Para (b) usar a fórmula fornecida e os valores x_{0}=0, x_{1}=2, x_{2}=6.

Passo 2

Conceito usado em (a): o ponto extremo (mínimo ou máximo) de uma função diferenciável costuma ocorrer onde a derivada é zero (ponto crítico). Para confirmar se é máximo ou mínimo usamos a segunda derivada: se f''(x)<0 é máximo local; se f''(x)>0 é mínimo local.
Vamos calcular a derivada de f. A função é polinomial, então derivamos termo a termo:
f(x)=-x^{2}+8x-12.
A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}(-x^{2})+\frac{d}{dx}(8x)+\frac{d}{dx}(-12) = -2x+8+0.
Logo
f'(x)=-2x+8.

Passo 3

Encontrar ponto crítico resolvendo f'(x)=0:
-2x+8=0 \quad\Rightarrow\quad -2x = -8 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Portanto a candidata a ponto extremo é x=4.

Passo 4

Aplicar o teste da segunda derivada para classificar o ponto. A segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}(-2x+8)=-2.
Como f''(4)=-2<0, o ponto x=4 é um máximo local (e, para um polinômio quadrático com coeficiente líder negativo, é também o máximo global).
Agora calculamos o valor da função nesse x:
f(4)=-(4)^{2}+8\cdot 4-12 = -16+32-12 = 4.

Passo 5

Comentário didático sobre a fórmula de (b): a expressão dada calcula a abscissa do vértice da parábola que interpola os três pontos \big(x_{0},f(x_{0})\big), \big(x_{1},f(x_{1})\big), \big(x_{2},f(x_{2})\big). Uma forma elegante de ver isso é usar a forma de interpolação de Lagrange para o polinômio quadrático p(x) que passa por esses três pontos:
p(x)=f(x_{0})L_{0}(x)+f(x_{1})L_{1}(x)+f(x_{2})L_{2}(x),
onde, por exemplo,
L_{0}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})},
e análogos para L_{1},L_{2}. O máximo (vértice) ocorre onde p'(x)=0.

Passo 6

Calcular p'(x) de forma geral. Derivando L_{i}(x) (produto de dois termos lineares) obtemos
\frac{d}{dx}\big[(x-x_{j})(x-x_{k})\big] = (x-x_{j})+(x-x_{k}) = 2x - x_{j} - x_{k}.
Portanto
L_{i}'(x)=\frac{2x - x_{j} - x_{k}}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{k})},
onde \{i,j,k\}=\{0,1,2\}. Assim
p'(x)=\sum_{i=0}^{2} f(x_{i})\,L_{i}'(x) = \sum_{i=0}^{2} f(x_{i})\,\frac{2x - x_{j} - x_{k}}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{k})}.
Colocando termo 2x em evidência:
p'(x)=2x\sum_{i=0}^{2}\frac{f(x_{i})}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{k})} - \sum_{i=0}^{2}\frac{f(x_{i})(x_{j}+x_{k})}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{k})}.
Igualando a zero e isolando x temos
x=\frac{\displaystyle\sum_{i=0}^{2}\frac{f(x_{i})(x_{j}+x_{k})}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{k})}} {2\displaystyle\sum_{i=0}^{2}\frac{f(x_{i})}{(x_{i}-x_{j})(x_{i}-x_{k})}}.
Com manipulação algébrica (multiplicando numerador e denominador pelo produto adequado dos denominadores) isso se transforma exatamente na forma dada no enunciado
x_{3}=\frac{f\left(x_{0}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)+f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}^{2}-x_{0}^{2}\right)+f\left(x_{2}\right)\left(x_{0}^{2}-x_{1}^{2}\right)}{2 f\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)+2 f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{0}\right)+2 f\left(x_{2}\right)\left(x_{0}-x_{1}\right)}.
(O passo essencial foi escrever o polinômio em forma de Lagrange, derivar e isolar x; a multiplicação dos denominadores faz aparecer as combinações de quadrados e diferenças que aparecem na fórmula do enunciado.)

Passo 7

Agora fazemos a verificação numérica pedida em (b) com x_{0}=0, x_{1}=2, x_{2}=6.
Primeiro calculamos os valores de f nesses pontos:
f(0)=-(0)^{2}+8\cdot 0-12 = -12,
f(2)=-(2)^{2}+8\cdot 2-12 = -4+16-12 = 0,
f(6)=-(6)^{2}+8\cdot 6-12 = -36+48-12 = 0.
Agora substituímos na fórmula do enunciado. O numerador é
\begin{aligned} &f(x_{0})(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+f(x_{1})(x_{2}^{2}-x_{0}^{2})+f(x_{2})(x_{0}^{2}-x_{1}^{2})\\\ =&\,(-12)(2^{2}-6^{2}) + 0\cdot(6^{2}-0^{2}) + 0\cdot(0^{2}-2^{2}) \\\ =&\,(-12)(4-36) = (-12)(-32)=384. \end{aligned}
O denominador é
\begin{aligned} &2\big[ f(x_{0})(x_{1}-x_{2})+f(x_{1})(x_{2}-x_{0})+f(x_{2})(x_{0}-x_{1})\big]\\\ =&\,2\big[(-12)(2-6)+0\cdot(6-0)+0\cdot(0-2)\big] \\\ =&\,2[(-12)(-4)] = 2\cdot 48 = 96. \end{aligned}
Portanto
x_{3}=\frac{384}{96}=4.

Passo 8

Conclusão e interpretação: o valor obtido por derivação foi x=4 com f(4)=4, e a fórmula de interpolação aplicada aos pontos x_{0}=0,x_{1}=2,x_{2}=6 também fornece x_{3}=4. Ou seja, a fórmula verifica-se nesse caso e dá exatamente a abscissa do vértice da parábola f.

Resposta

(a) O máximo é f(4)=4 em x=4.
(b) Usando a fórmula com x_{0}=0,x_{1}=2,x_{2}=6 obtemos x_{3}=4.

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