Dada a fórmula
(a) Determine analiticamente (isto é, usando derivação) o máximo e o valor correspondente de
para essa função.
(b) Verifique que a Equação
fornece o mesmo resultado, com base nas aproximações iniciais
e
.
(a) Determine analiticamente (isto é, usando derivação) o máximo e o valor correspondente de
(b) Verifique que a Equação
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) Determine analiticamente (usando derivação) o máximo da função e o valor de onde esse máximo ocorre.
(b) Verifique que a expressão
(a) Determine analiticamente (usando derivação) o máximo da função e o valor de
(b) Verifique que a expressão
fornece o mesmo resultado quando as aproximações iniciais são
,
e
.
Informações relevantes dadas:
- A função explicitamente:
. - Para (a) usar derivação (isto é, calcular
etc.). - Para (b) usar a fórmula fornecida e os valores
, , .
Passo 2
Conceito usado em (a): o ponto extremo (mínimo ou máximo) de uma função diferenciável costuma ocorrer onde a derivada é zero (ponto crítico). Para confirmar se é máximo ou mínimo usamos a segunda derivada: se
é máximo local; se
é mínimo local.
Vamos calcular a derivada de
. A função é polinomial, então derivamos termo a termo:
A derivada é
Logo
Passo 3
Encontrar ponto crítico resolvendo
:
Portanto a candidata a ponto extremo é
.
Passo 4
Aplicar o teste da segunda derivada para classificar o ponto. A segunda derivada é
Como
, o ponto
é um máximo local (e, para um polinômio quadrático com coeficiente líder negativo, é também o máximo global).
Agora calculamos o valor da função nesse
:
Passo 5
Comentário didático sobre a fórmula de (b): a expressão dada calcula a abscissa do vértice da parábola que interpola os três pontos
,
,
. Uma forma elegante de ver isso é usar a forma de interpolação de Lagrange para o polinômio quadrático
que passa por esses três pontos:
onde, por exemplo,
e análogos para
. O máximo (vértice) ocorre onde
.
Passo 6
Calcular
de forma geral. Derivando
(produto de dois termos lineares) obtemos
Portanto
onde
. Assim
Colocando termo
em evidência:
Igualando a zero e isolando
temos
Com manipulação algébrica (multiplicando numerador e denominador pelo produto adequado dos denominadores) isso se transforma exatamente na forma dada no enunciado
(O passo essencial foi escrever o polinômio em forma de Lagrange, derivar e isolar
; a multiplicação dos denominadores faz aparecer as combinações de quadrados e diferenças que aparecem na fórmula do enunciado.)
Passo 7
Agora fazemos a verificação numérica pedida em (b) com
,
,
.
Primeiro calculamos os valores de
nesses pontos:
Agora substituímos na fórmula do enunciado. O numerador é
O denominador é
Portanto
Passo 8
Conclusão e interpretação: o valor obtido por derivação foi
com
, e a fórmula de interpolação aplicada aos pontos
também fornece
. Ou seja, a fórmula verifica-se nesse caso e dá exatamente a abscissa do vértice da parábola
.
Resposta
(a) O máximo é
em
.
(b) Usando a fórmula com obtemos
.
(b) Usando a fórmula com