Quando em repouso, os múons têm uma vida média de
antes de se desintegrarem. Considere um observador na Terra observando um múon viajando a 0,995 da velocidade da luz. Qual é o tempo medido por esse observador? Compare também as distâncias viajadas considerando os dois tempos. Do ponto de vista do múon, como o conceito de contração do comprimento explica que ele consegue percorrer a distância até a Terra, apesar de seu tempo de vida ser menor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem claras:
- Informações dadas:
- Vida média do múon em repouso:
. - Velocidade do múon relativa à Terra:
, onde é a velocidade da luz.
- Vida média do múon em repouso:
- Perguntas que o enunciado faz:
- Qual é o tempo medido por um observador na Terra (ou seja, quanto tempo o múon vive segundo a Terra)?
- Compare as distâncias viajadas considerando os dois tempos (distância medida pela Terra e distância medida pelo múon).
- Do ponto de vista do múon, explique com a contração do comprimento por que ele consegue chegar à Terra apesar de sua vida própria ser curta.
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Conceito que vamos usar primeiro: dilatação do tempo. A dilatação do tempo diz que um intervalo temporal próprio
(medido no referencial onde o relógio ou processo está em repouso) aparece maior quando medido por um observador que vê esse relógio em movimento. A relação é
onde
é o fator de Lorentz. Aqui:
-
é o tempo próprio (no caso, a vida média do múon medida no referencial do próprio múon), -
é o tempo medido por um observador que vê o múon movendo-se com velocidade , -
é a velocidade relativa, -
é a velocidade da luz.
Vou calcular
para
.
Passo 3
Calculemos
numericamente. Primeiro o quadrado de
:
Então
Agora a raiz quadrada:
Portanto
Interpretação rápida: o múon “vive” cerca de 10 vezes mais segundo a Terra do que vive no seu próprio referencial.
Passo 4
Agora usamos a dilatação de tempo para achar o tempo medido pela Terra:
Multiplicando:
Arredondando de forma conveniente:
.
Esse é o tempo médio de vida do múon segundo o observador na Terra.
Esse é o tempo médio de vida do múon segundo o observador na Terra.
Passo 5
Distância percorrida segundo a Terra. No referencial da Terra o múon tem velocidade
e vive, em média,
. Então a distância média que a Terra observa o múon percorrer é
Substituindo
e
, e
:
Logo
Ou seja, cerca de
. Isso explica por que muitos múons originalmente altos na atmosfera chegam ao solo: segundo a Terra eles viajam milhares de metros porque seu tempo de vida foi dilatado.
Passo 6
Distância percorrida segundo o múon. Para o múon, o tempo médio de vida é o próprio (tempo próprio)
. No referencial do múon, é a Terra que se aproxima com velocidade
. Assim a distância que a Terra percorre até o múon se “desintegrar” (distância que o múon precisa atravessar no seu referencial) é
Substituindo:
Ou seja, cerca de
.
Passo 7
Agora mostramos a consistência com a contração do comprimento (isso responde a parte conceitual). Se na Terra a distância até o solo (ou espessura relevante da atmosfera que precisa ser atravessada) for
, então no referencial do múon essa distância longitudinal (na direção do movimento) é contraída por
:
Calculando:
que coincide com
calculado antes. Ou seja, do ponto de vista do múon a atmosfera está muito mais curta (aprox. 10 vezes menor), então ele precisa atravessar só cerca de
antes de chegar ao solo — e esse percurso cabe no seu tempo próprio de
.
Passo 8
Resumo físico e intuição (em linguagem direta, pra te animar): você pode pensar em duas explicações equivalentes e totalmente consistentes:
- Na Terra: o múon vive mais (tempo dilatado) e por isso percorre
antes de decair. - No múon: ele vive pouco (2,2 μs), mas vê a Terra/atmosfera contraída por um fator ~10, então a distância até o solo é só
— facilmente percorrida nesse tempo. As duas visões dizem a mesma coisa, só mudam o referencial.
Resposta
Explicação final: do ponto de vista do múon a contração do comprimento reduz a espessura da atmosfera por um fator