Quando em repouso, os múons têm uma vida média de 2,2 \times 10^{-6} \mathrm{~s} antes de se desintegrarem. Considere um observador na Terra observando um múon viajando a 0,995 da velocidade da luz. Qual é o tempo medido por esse observador? Compare também as distâncias viajadas considerando os dois tempos. Do ponto de vista do múon, como o conceito de contração do comprimento explica que ele consegue percorrer a distância até a Terra, apesar de seu tempo de vida ser menor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem claras:
  • Informações dadas:
    • Vida média do múon em repouso: \tau_0 = 2,2\times10^{-6}\,\mathrm{s}.
    • Velocidade do múon relativa à Terra: v = 0,995\,c, onde c é a velocidade da luz.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Qual é o tempo medido por um observador na Terra (ou seja, quanto tempo o múon vive segundo a Terra)?
    2. Compare as distâncias viajadas considerando os dois tempos (distância medida pela Terra e distância medida pelo múon).
    3. Do ponto de vista do múon, explique com a contração do comprimento por que ele consegue chegar à Terra apesar de sua vida própria ser curta.
A partir daqui eu começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Conceito que vamos usar primeiro: dilatação do tempo. A dilatação do tempo diz que um intervalo temporal próprio \tau_0 (medido no referencial onde o relógio ou processo está em repouso) aparece maior quando medido por um observador que vê esse relógio em movimento. A relação é
\tau = \gamma\,\tau_0,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz. Aqui:
  • \tau_0 é o tempo próprio (no caso, a vida média do múon medida no referencial do próprio múon),
  • \tau é o tempo medido por um observador que vê o múon movendo-se com velocidade v,
  • v é a velocidade relativa,
  • c é a velocidade da luz.
Vou calcular \gamma para v=0,995\,c.

Passo 3

Calculemos \gamma numericamente. Primeiro o quadrado de v/c:
\left(\frac{v}{c}\right)^2 = (0,995)^2 = 0,990025.
Então
1-\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,990025 = 0,009975.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{0,009975}\approx 0,099875.
Portanto
\gamma = \frac{1}{0,099875}\approx 10{,}0125.
Interpretação rápida: o múon “vive” cerca de 10 vezes mais segundo a Terra do que vive no seu próprio referencial.

Passo 4

Agora usamos a dilatação de tempo para achar o tempo medido pela Terra:
\tau = \gamma\,\tau_0 = 10{,}0125 \times 2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s}.
Multiplicando:
\tau \approx 2{,}2028\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
Arredondando de forma conveniente: \tau \approx 2{,}20\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
Esse é o tempo médio de vida do múon segundo o observador na Terra.

Passo 5

Distância percorrida segundo a Terra. No referencial da Terra o múon tem velocidade v e vive, em média, \tau. Então a distância média que a Terra observa o múon percorrer é
d_{\text{Terra}} = v\,\tau.
Substituindo v = 0{,}995\,c e c\approx 3{,}00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}, e \tau \approx 2{,}2028\times10^{-5}\,\mathrm{s}:
v \approx 0{,}995\times 3{,}00\times10^{8} = 2{,}985\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Logo
d_{\text{Terra}} \approx 2{,}985\times10^{8}\times 2{,}2028\times10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 6{,}58\times10^{3}\,\mathrm{m}.
Ou seja, cerca de 6{,}58\\ \text{km}. Isso explica por que muitos múons originalmente altos na atmosfera chegam ao solo: segundo a Terra eles viajam milhares de metros porque seu tempo de vida foi dilatado.

Passo 6

Distância percorrida segundo o múon. Para o múon, o tempo médio de vida é o próprio (tempo próprio) \tau_0 = 2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s}. No referencial do múon, é a Terra que se aproxima com velocidade v. Assim a distância que a Terra percorre até o múon se “desintegrar” (distância que o múon precisa atravessar no seu referencial) é
d_{\text{múon}} = v\,\tau_0.ú
Substituindo:
d_{\text{múon}} \approx 2{,}985\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\times 2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s} \approx 6{,}567\times10^{2}\,\mathrm{m}.ú
Ou seja, cerca de 6,57\times10^{2}\,\mathrm{m} = 657\,\mathrm{m}.

Passo 7

Agora mostramos a consistência com a contração do comprimento (isso responde a parte conceitual). Se na Terra a distância até o solo (ou espessura relevante da atmosfera que precisa ser atravessada) for L_{\text{Terra}}\approx d_{\text{Terra}}\approx 6{,}58\times10^{3}\,\mathrm{m}, então no referencial do múon essa distância longitudinal (na direção do movimento) é contraída por \gamma:
L_{\text{múon}} = \frac{L_{\text{Terra}}}{\gamma}.ú
Calculando:
L_{\text{múon}} \approx \frac{6{,}58\times10^{3}}{10{,}0125} \approx 6{,}57\times10^{2}\,\mathrm{m},ú
que coincide com d_{\text{múon}}ú calculado antes. Ou seja, do ponto de vista do múon a atmosfera está muito mais curta (aprox. 10 vezes menor), então ele precisa atravessar só cerca de 657\,\mathrm{m} antes de chegar ao solo — e esse percurso cabe no seu tempo próprio de 2,2\times10^{-6}\,\mathrm{s}.

Passo 8

Resumo físico e intuição (em linguagem direta, pra te animar): você pode pensar em duas explicações equivalentes e totalmente consistentes:
  • Na Terra: o múon vive mais (tempo dilatado) e por isso percorre \sim 6{,}6\\ \text{km} antes de decair.
  • No múon: ele vive pouco (2,2 μs), mas vê a Terra/atmosfera contraída por um fator ~10, então a distância até o solo é só \sim 657\\ \text{m} — facilmente percorrida nesse tempo. As duas visões dizem a mesma coisa, só mudam o referencial.

Resposta

\tau_{\text{Terra}} \approx 2{,}20\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
d_{\text{Terra}} \approx 6{,}58\times10^{3}\,\mathrm{m} (≈ 6{,}58\\ \text{km}).
d_{\text{múon}} \approx 6{,}57\times10^{2}\,\mathrm{m}ú (≈ 657\\ \text{m}).
Explicação final: do ponto de vista do múon a contração do comprimento reduz a espessura da atmosfera por um fator \gamma\approx10, permitindo que ele atinja a Terra dentro do seu tempo próprio de vida.

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