Defina máximo local e máximo global (absoluto) e explique a diferença entre eles.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) definir o que é um máximo local e (2) definir o que é um máximo global (também chamado absoluto), e ainda (3) explicar a diferença entre eles.
Informações dadas: não há uma função específica; a questão é conceitual — quer as definições formais e uma explicação clara com exemplos.

Passo 2

Antes de dar as definições formais, combinemos a notação que vou usar: seja f uma função com domínio D\subseteq\mathbb{R} (pode ser um intervalo, todo \mathbb{R}, etc.). Um ponto do domínio será denotado por x_0\in D. Quando eu falar em “vizinhança” de x_0 quero dizer um intervalo em torno de x_0, por exemplo (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) para algum \varepsilon>0. Essas são as ideias que entram nas definições formais.

Passo 3

Definição formal de máximo local (no caso de x_0 ser um ponto interior do domínio):
Dizemos que f tem um máximo local em x_0 se existe \varepsilon>0 tal que, para todo x\in D com |x-x_0|<\varepsilon, vale
f(x)\le f(x_0).
Explicação didática: isso significa que, olhando apenas para os valores de f bem próximos de x_0, o valor em x_0 é o maior — pode haver pontos mais afastados com valor maior, não importa. Em linguagem menos formal: “num pequeno arredor de x_0, f(x_0) é o maior valor”.

Passo 4

Observação sobre pontos de fronteira (extremos do domínio): se x_0 é um extremo do domínio (por exemplo x_0 é o limite esquerdo ou direito de um intervalo fechado), então a definição de máximo local usa uma vizinhança unilateral. Por exemplo, se D=[a,b] e x_0=a, dizemos que f tem máximo local em a se existe \varepsilon>0 tal que, para todo x\in D com 0\le x-a<\varepsilon, vale
f(x)\le f(a).
Isto considera apenas a vizinhança dentro do domínio.

Passo 5

Definição formal de máximo global (absoluto):
Dizemos que f tem um máximo global (ou absoluto) em x^*\in D se para todo x\in D vale
f(x)\le f(x^*).
Explicação didática: aqui a comparação é feita com todos os pontos do domínio, não só com os próximos. Se f(x^*) é maior ou igual a todos os valores que a função assume em todo o domínio, então é máximo absoluto.

Passo 6

Diferença curta e direta entre os dois:
  • Máximo local: valor máximo apenas numa vizinhança (próxima) de x_0. Pode haver outras partes do domínio onde a função atinge valores maiores.
  • Máximo global (absoluto): valor máximo em todo o domínio D; é o maior valor que a função assume, sem exceção.

Passo 7

Exemplos concretos — isso ajuda muito na prova!
Exemplo A (máximo local que é também global): considere f(x)= -x^2 com domínio D=\mathbb{R}.
  • Derivada: \displaystyle f'(x) = -2x. Solução f'(x)=0 em x=0.
  • Segunda derivada: \displaystyle f''(x) = -2 <0, então por teste da segunda derivada x=0 é um máximo local estrito.
  • Como \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=-\infty, não existe valor maior que f(0)=0. Logo x=0 é também máximo global.
    Mostrei passo a passo como usar derivadas — isso vale na prova: achar pontos críticos com f'(x)=0 e testar com f'' é um método padrão.
Exemplo B (máximo local que não é global): considere f(x)=x^3-3x com domínio \mathbb{R}.
  • Derivada: \displaystyle f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1). Zeros em x=\pm1.
  • Avaliando: f(-1)=(-1)^3-3(-1)= -1+3=2. Em x=-1 temos ponto crítico. Segunda derivada: \displaystyle f''(x)=6x, então f''(-1)=-6<0 e x=-1 é máximo local estrito com valor 2.
  • Mas para x\to\infty, f(x)\to\infty. Portanto não existe máximo global (o valor 2 não é o maior na reta inteira). Assim x=-1 é máximo local mas não global. Este exemplo mostra bem a diferença.
Exemplo C (máximo global múltiplo): f(x)=\sin x em D=\mathbb{R}.
  • \sin x atinge o valor máximo 1 em pontos como x=\pi/2+2k\pi. Cada um desses pontos é um máximo local e, como 1 é o maior valor global que \sin pode assumir, esses pontos são também máximos globais (a mesma altura máxima ocorre em vários pontos).

Passo 8

Casos especiais e observações úteis para a prova (dicas práticas):
  • Se o domínio é um intervalo fechado e f é contínua, o Teorema de Weierstrass garante que f tem máximo e mínimo global. Então nesses exercícios verifique continuidade e o domínio fechado.
  • Para decidir se um ponto é máximo local: método prático em prova rápida — encontre pontos críticos com \,f'(x)=0 ou pontos onde f' não existe; então aplique o teste da segunda derivada ( f''(x)<0 indica máximo local estrito) ou o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de f'). Sempre verifique valores em possíveis pontos de fronteira do domínio.
  • Para concluir que um máximo local é também global, compare o valor em x_0 com os limites nas extremidades do domínio e com outros valores críticos: se for maior ou igual a todos, então é global.

Passo 9

Resumo pedagógico (como eu te aconselho a responder na prova): dê a definição formal (com \varepsilon para máximo local e com "para todo x\in D" para máximo global), ilustre com um exemplo simples (por exemplo f(x)=-x^2 e f(x)=x^3-3x) e indique o método de verificação (derivadas e checar extremos do domínio). Um passo-a-passo curto na solução ajuda o corretor a ver que você entendeu a diferença.

Resposta

Máximo local: existe x_0\in D e \varepsilon>0 tal que, para todo x\in D com |x-x_0|<\varepsilon, vale f(x)\le f(x_0).
Máximo global (absoluto): existe x^*\in D tal que, para todo x\in D, vale f(x)\le f(x^*).
Diferença: o máximo local é relativo a uma vizinhança de x_0 (só é o maior “próximo” a x_0), já o máximo global é o maior valor da função em todo o domínio; um ponto pode ser local sem ser global, e se for global então necessariamente também é local (desde que seja interior ou considerado vizinhança adequada no caso de fronteira).

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