Defina máximo local e máximo global (absoluto) e explique a diferença entre eles.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) definir o que é um máximo local e (2) definir o que é um máximo global (também chamado absoluto), e ainda (3) explicar a diferença entre eles.
Informações dadas: não há uma função específica; a questão é conceitual — quer as definições formais e uma explicação clara com exemplos.
Informações dadas: não há uma função específica; a questão é conceitual — quer as definições formais e uma explicação clara com exemplos.
Passo 2
Antes de dar as definições formais, combinemos a notação que vou usar: seja
uma função com domínio
(pode ser um intervalo, todo
, etc.). Um ponto do domínio será denotado por
. Quando eu falar em “vizinhança” de
quero dizer um intervalo em torno de
, por exemplo
para algum
. Essas são as ideias que entram nas definições formais.
Passo 3
Definição formal de máximo local (no caso de
ser um ponto interior do domínio):
Dizemos que tem um máximo local em
se existe
tal que, para todo
com
, vale
Dizemos que
Explicação didática: isso significa que, olhando apenas para os valores de
bem próximos de
, o valor em
é o maior — pode haver pontos mais afastados com valor maior, não importa. Em linguagem menos formal: “num pequeno arredor de
,
é o maior valor”.
Passo 4
Observação sobre pontos de fronteira (extremos do domínio): se
é um extremo do domínio (por exemplo
é o limite esquerdo ou direito de um intervalo fechado), então a definição de máximo local usa uma vizinhança unilateral. Por exemplo, se
e
, dizemos que
tem máximo local em
se existe
tal que, para todo
com
, vale
Isto considera apenas a vizinhança dentro do domínio.
Passo 5
Definição formal de máximo global (absoluto):
Dizemos que tem um máximo global (ou absoluto) em
se para todo
vale
Dizemos que
Explicação didática: aqui a comparação é feita com todos os pontos do domínio, não só com os próximos. Se
é maior ou igual a todos os valores que a função assume em todo o domínio, então é máximo absoluto.
Passo 6
Diferença curta e direta entre os dois:
- Máximo local: valor máximo apenas numa vizinhança (próxima) de
. Pode haver outras partes do domínio onde a função atinge valores maiores. - Máximo global (absoluto): valor máximo em todo o domínio
; é o maior valor que a função assume, sem exceção.
Passo 7
Exemplos concretos — isso ajuda muito na prova!
Exemplo A (máximo local que é também global): considere
com domínio
.
- Derivada:
. Solução em . - Segunda derivada:
, então por teste da segunda derivada é um máximo local estrito. - Como
, não existe valor maior que . Logo é também máximo global.
Mostrei passo a passo como usar derivadas — isso vale na prova: achar pontos críticos come testar com é um método padrão.
Exemplo B (máximo local que não é global): considere
com domínio
.
- Derivada:
. Zeros em . - Avaliando:
. Em temos ponto crítico. Segunda derivada: , então e é máximo local estrito com valor . - Mas para
, . Portanto não existe máximo global (o valor não é o maior na reta inteira). Assim é máximo local mas não global. Este exemplo mostra bem a diferença.
Exemplo C (máximo global múltiplo):
em
.
-
atinge o valor máximo em pontos como . Cada um desses pontos é um máximo local e, como é o maior valor global que pode assumir, esses pontos são também máximos globais (a mesma altura máxima ocorre em vários pontos).
Passo 8
Casos especiais e observações úteis para a prova (dicas práticas):
- Se o domínio é um intervalo fechado e
é contínua, o Teorema de Weierstrass garante que tem máximo e mínimo global. Então nesses exercícios verifique continuidade e o domínio fechado. - Para decidir se um ponto é máximo local: método prático em prova rápida — encontre pontos críticos com
ou pontos onde não existe; então aplique o teste da segunda derivada ( indica máximo local estrito) ou o teste da primeira derivada (verificar mudança de sinal de ). Sempre verifique valores em possíveis pontos de fronteira do domínio. - Para concluir que um máximo local é também global, compare o valor em
com os limites nas extremidades do domínio e com outros valores críticos: se for maior ou igual a todos, então é global.
Passo 9
Resumo pedagógico (como eu te aconselho a responder na prova): dê a definição formal (com
para máximo local e com "para todo
" para máximo global), ilustre com um exemplo simples (por exemplo
e
) e indique o método de verificação (derivadas e checar extremos do domínio). Um passo-a-passo curto na solução ajuda o corretor a ver que você entendeu a diferença.
Resposta
Máximo local: existe
e
tal que, para todo
com
, vale
.
Máximo global (absoluto): existe tal que, para todo
, vale
.
Diferença: o máximo local é relativo a uma vizinhança de (só é o maior “próximo” a
), já o máximo global é o maior valor da função em todo o domínio; um ponto pode ser local sem ser global, e se for global então necessariamente também é local (desde que seja interior ou considerado vizinhança adequada no caso de fronteira).
Máximo global (absoluto): existe
Diferença: o máximo local é relativo a uma vizinhança de