Ache a linearização de f(x)=\sqrt[3]{1-x} em a=1 e use essa expressão para aproximar \sqrt{0.95} e \sqrt{1.05}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A linearização de f(x)=\sqrt[3]{1-x} no ponto a=1.
  2. Usar essa expressão (a linearização) para aproximar \sqrt{0,95} e \sqrt{1,05}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt[3]{1-x}=(1-x)^{1/3}.
  • O ponto de linearização indicado é a=1.
  • Os números a aproximar são 0,95 e 1,05, aplicados com a operação de raiz quadrada conforme o pedido ( \sqrt{\cdot}).

Passo 2

Vamos tentar calcular a linearização de f em a=1. Primeiro precisamos do valor de f em a e da derivada f'(x).
Calculemos f(1). Temos
f(1)=(1-1)^{1/3}=0.
Agora a derivada: usando a regra da cadeia para f(x)=(1-x)^{1/3}, escrevemos primeiro a regra geral. Se h(u)=u^{1/3} e u(x)=1-x, então f(x)=h(u(x)) e
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Como h'(u)=\tfrac{1}{3}u^{-2/3} e u'(x)=-1, obtemos
f'(x) = \frac{1}{3}(1-x)^{-2/3}\cdot(-1) = -\frac{1}{3}(1-x)^{-2/3}.

Passo 3

Avaliar f'(x) em x=1. Substituindo x=1 em f'(x)
f'(1) = -\frac{1}{3}(1-1)^{-2/3} = -\frac{1}{3}\cdot 0^{-2/3}.
Mas 0^{-2/3} é infinito (porque dividir por 0^{2/3} dá infinito). Portanto f'(1) não é um número finito: a derivada diverge para -\infty. Em termos simples, f tem um comportamento com tangente vertical em x=1 e não é diferenciável (com derivada finita) naquele ponto.

Passo 4

Conseqüência prática: a linearização padrão de uma função em a é definida por
L(x) = f(a) + f'(a)\,(x-a),
e só existe (no sentido usual, com f'(a) finito) se f for diferenciável em a. Como f'(1) não é finito, não existe uma linearização de f(x)=\sqrt[3]{1-x} em a=1 na forma L(x)=f(1)+f'(1)(x-1) com coeficiente finito. Logo não é possível obter uma expressão linear útil para f em a=1.

Passo 5

O enunciado pede depois para usar “essa expressão” para aproximar \sqrt{0,95} e \sqrt{1,05}. Há duas inconsistências possíveis aqui:
  • a função dada f é uma raiz cúbica e o pedido de aproximação é de raízes quadradas, ou
  • talvez o autor quisesse linearizar a função g(t)=\sqrt{t} em t=1 para aproximar \sqrt{0,95} e \sqrt{1,05}.
Como não posso pedir esclarecimento, vou seguir a interpretação prática e provavelmente desejada para aproximar \sqrt{0,95} e \sqrt{1,05}: linearizar a função
g(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}
em t=1 e usar essa linearização para aproximar as raízes quadradas pedidas. Vou explicar e executar esse procedimento.

Passo 6

Relembrando o procedimento de linearização (aula rápida e prática): para uma função g diferenciável em a, a linearização em a é a reta tangente em a:
L_g(t) = g(a) + g'(a)\,(t-a).
Aqui g(a) é o valor da função no ponto de expansão e g'(a) é a taxa de variação (derivada) nesse ponto. Essa reta aproxima g(t) quando t está próximo de a.

Passo 7

Aplicando isso a g(t)=t^{1/2} em a=1:
  • g(1)=1^{1/2}=1.
  • Derivada: g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Então
g'(1)=\frac{1}{2}\cdot 1^{-1/2}=\frac{1}{2}.
Portanto a linearização é
L_g(t)=1+\frac{1}{2}(t-1).
Explicando: se t muda um pouco em relação a 1, a mudança aproximada em \sqrt{t} é metade da mudança em t (é por isso do coeficiente 1/2).

Passo 8

Agora usamos L_g para aproximar \sqrt{0,95} e \sqrt{1,05}.
Para t=0,95:
L_g(0,95)=1+\frac{1}{2}(0,95-1)=1+\frac{1}{2}(-0,05)=1-0,025=0,975.
Logo \sqrt{0,95}\approx 0,975.
Para t=1,05:
L_g(1,05)=1+\frac{1}{2}(1,05-1)=1+\frac{1}{2}\cdot 0,05=1+0,025=1,025.
Logo \sqrt{1,05}\approx 1,025.

Passo 9

Breve comentário sobre a qualidade da aproximação (pra te deixar tranquilo): a aproximação linear é boa quando a variação t-1 é pequena; aqui |t-1|=0,05 é razoavelmente pequeno, então os valores aproximados 0,975 e 1,025 ficam bem próximos dos valores exatos (o erro é da ordem do segundo termo da expansão de Taylor, que aqui é pequeno). Se quiser, eu posso estimar o erro com a fórmula do resto de Taylor.

Resposta

A linearização de f(x)=\sqrt[3]{1-x} em a=1 não existe (a derivada f'(1) diverge para -\infty).
\sqrt{0,95}\approx 0,975
\sqrt{1,05}\approx 1,025

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