Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A linearização de
no ponto . - Usar essa expressão (a linearização) para aproximar
e .
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de linearização indicado é
. - Os números a aproximar são
e , aplicados com a operação de raiz quadrada conforme o pedido ( ).
Passo 2
Vamos tentar calcular a linearização de
em
. Primeiro precisamos do valor de
em
e da derivada
.
Calculemos
. Temos
Agora a derivada: usando a regra da cadeia para
, escrevemos primeiro a regra geral. Se
e
, então
e
Como
e
, obtemos
Passo 3
Avaliar
em
. Substituindo
em
dá
Mas
é infinito (porque dividir por
dá infinito). Portanto
não é um número finito: a derivada diverge para
. Em termos simples,
tem um comportamento com tangente vertical em
e não é diferenciável (com derivada finita) naquele ponto.
Passo 4
Conseqüência prática: a linearização padrão de uma função em
é definida por
e só existe (no sentido usual, com
finito) se
for diferenciável em
. Como
não é finito, não existe uma linearização de
em
na forma
com coeficiente finito. Logo não é possível obter uma expressão linear útil para
em
.
Passo 5
O enunciado pede depois para usar “essa expressão” para aproximar
e
. Há duas inconsistências possíveis aqui:
- a função dada
é uma raiz cúbica e o pedido de aproximação é de raízes quadradas, ou - talvez o autor quisesse linearizar a função
em para aproximar e .
Como não posso pedir esclarecimento, vou seguir a interpretação prática e provavelmente desejada para aproximar
e
: linearizar a função
em
e usar essa linearização para aproximar as raízes quadradas pedidas. Vou explicar e executar esse procedimento.
Passo 6
Relembrando o procedimento de linearização (aula rápida e prática): para uma função
diferenciável em
, a linearização em
é a reta tangente em
:
Aqui
é o valor da função no ponto de expansão e
é a taxa de variação (derivada) nesse ponto. Essa reta aproxima
quando
está próximo de
.
Passo 7
Aplicando isso a
em
:
-
. - Derivada:
. Então
Portanto a linearização é
Explicando: se
muda um pouco em relação a
, a mudança aproximada em
é metade da mudança em
(é por isso do coeficiente
).
Passo 8
Agora usamos
para aproximar
e
.
Para
:
Logo
.
Para
:
Logo
.
Passo 9
Breve comentário sobre a qualidade da aproximação (pra te deixar tranquilo): a aproximação linear é boa quando a variação
é pequena; aqui
é razoavelmente pequeno, então os valores aproximados
e
ficam bem próximos dos valores exatos (o erro é da ordem do segundo termo da expansão de Taylor, que aqui é pequeno). Se quiser, eu posso estimar o erro com a fórmula do resto de Taylor.
Resposta
A linearização de
em
não existe (a derivada
diverge para
).