Uma represa retangular de 30 m de largura suporta uma quantidade de água de 25 m de profundidade. Determine a força horizontal total sobre a represa, exercida pela água e pela pressão atmosférica.
Passo 1
O enunciado dá uma represa com as seguintes informações:
- largura da represa (extensão horizontal da parede):
. - altura (profundidade) da água:
.
O que se pede: determinar a força horizontal total sobre a represa, levando em conta a pressão exercida pela água e a pressão atmosférica.
Vou assumir os valores físicos usuais: densidade da água
, aceleração da gravidade
e pressão atmosférica
. Se o enunciado usa outros valores, trocar por esses não muda o método.
Passo 2
Conceito básico (mini-aula): pressão hidrostática
- A pressão absoluta em uma profundidade
medida a partir da superfície livre da água é
onde:
-
é a pressão absoluta no ponto a profundidade ; -
é a pressão atmosférica (valor na superfície); -
é a densidade do fluido; -
é a aceleração da gravidade; -
é a profundidade vertical (aqui ).
Explicação informal: a água adiciona uma pressão que cresce linearmente com a profundidade (
); a atmosfera apenas “somou” uma constante
em toda a coluna.
Passo 3
Como calcular a força horizontal sobre a parede (passo a passo):
- Considere um retângulo elementar horizontal (tira) na parede, de largura
e altura infinitesimal , localizado à profundidade . - A pressão nessa tira é
. - A força horizontal sobre essa tira é
- A força total na parede (somando todas as tiras de
a ) é a integral
Esta integral dá a força horizontal total aplicada pela água (incluindo a parte constante da pressão atmosférica) sobre a face voltada para a água.
Passo 4
Resolver a integral explicitamente (mostrando as contas):
Interpretação:
- O termo
é a contribuição da pressão atmosférica sobre a área molhada da parede. - O termo
é a contribuição hidrostática “gauge” devido ao peso da coluna de água (varia com ).
Passo 5
Calcular numericamente passo a passo (sem pular etapas):
- Área da parede molhada:
- Termo da pressão atmosférica:
- Termo hidrostático (somente o que cresce com a profundidade):
Calculemos
.
Então
Então
Primeiro
.
Depois .
Finalmente
Depois
Finalmente
- Força total sobre a face voltada para a água (soma dos dois termos):
Passo 6
Importante observar sobre a pressão atmosférica e o resultado prático:
- A pressão atmosférica também age sobre a face oposta (a face seca, voltada para o ar) com a mesma intensidade
e sobre a mesma área, produzindo uma força horizontal de mesmo módulo e sentido oposto. - Portanto, quando se pergunta a força horizontal resultante que efetivamente tende a deslocar/empurrar a represa (ou seja, a força líquida), as contribuições atmosféricas em ambos os lados se cancelam.
- Assim, a força horizontal resultante sobre a represa (aquela que não é anulada pela pressão do ar do outro lado) é somente o termo hidrostático:
Resposta
Força aplicada na face voltada para a água (água + pressão atmosférica):
Força horizontal resultante sobre a represa (considerando que a pressão atmosférica age em ambos os lados e se anula):
Força horizontal resultante sobre a represa (considerando que a pressão atmosférica age em ambos os lados e se anula):