Uma represa retangular de 30 m de largura suporta uma quantidade de água de 25 m de profundidade. Determine a força horizontal total sobre a represa, exercida pela água e pela pressão atmosférica.

Passo 1

O enunciado dá uma represa com as seguintes informações:
  • largura da represa (extensão horizontal da parede): w=30\\ \mathrm{m}.
  • altura (profundidade) da água: h=25\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar a força horizontal total sobre a represa, levando em conta a pressão exercida pela água e a pressão atmosférica.
Vou assumir os valores físicos usuais: densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e pressão atmosférica \,p_{\text{atm}}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Se o enunciado usa outros valores, trocar por esses não muda o método.

Passo 2

Conceito básico (mini-aula): pressão hidrostática
  • A pressão absoluta em uma profundidade y medida a partir da superfície livre da água é
p(y)=p_{\text{atm}}+\rho g y,
onde:
  • p(y) é a pressão absoluta no ponto a profundidade y;
  • p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica (valor na superfície);
  • \rho é a densidade do fluido;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • y é a profundidade vertical (aqui 0\le y\le h).
Explicação informal: a água adiciona uma pressão que cresce linearmente com a profundidade ( \rho g y); a atmosfera apenas “somou” uma constante p_{\text{atm}} em toda a coluna.

Passo 3

Como calcular a força horizontal sobre a parede (passo a passo):
  • Considere um retângulo elementar horizontal (tira) na parede, de largura w e altura infinitesimal \mathrm{d}y, localizado à profundidade y.
  • A pressão nessa tira é p(y)=p_{\text{atm}}+\rho g y.
  • A força horizontal sobre essa tira é
\mathrm{d}F = p(y)\cdot (\text{área da tira}) = \bigl(p_{\text{atm}}+\rho g y\bigr)\,w\,\mathrm{d}y.á
  • A força total na parede (somando todas as tiras de y=0 a y=h) é a integral
F_{\text{upstream}}=\int_{0}^{h}\bigl(p_{\text{atm}}+\rho g y\bigr)\,w\,\mathrm{d}y.
Esta integral dá a força horizontal total aplicada pela água (incluindo a parte constante da pressão atmosférica) sobre a face voltada para a água.

Passo 4

Resolver a integral explicitamente (mostrando as contas):
F_{\text{upstream}}=w\left[\int_{0}^{h}p_{\text{atm}}\,\mathrm{d}y+\int_{0}^{h}\rho g y\,\mathrm{d}y\right] = w\left[p_{\text{atm}}\,h + \rho g \frac{h^{2}}{2}\right].
Interpretação:
  • O termo w\,p_{\text{atm}}\,h é a contribuição da pressão atmosférica sobre a área molhada da parede.
  • O termo w\,\rho g \dfrac{h^{2}}{2} é a contribuição hidrostática “gauge” devido ao peso da coluna de água (varia com y).

Passo 5

Calcular numericamente passo a passo (sem pular etapas):
  • Área da parede molhada:
A = w h = 30\cdot25 = 750\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Termo da pressão atmosférica:
F_{\text{atm,upstream}} = p_{\text{atm}} A = \bigl(1{,}013\times10^{5}\bigr)\cdot750 = 75\,975\,000\\ \mathrm{N}.
  • Termo hidrostático (somente o que cresce com a profundidade):
F_{\text{hidro}} = \rho g w \frac{h^{2}}{2}.
Calculemos \frac{h^{2}}{2}=\dfrac{25^{2}}{2}=\dfrac{625}{2}=312{,}5.
Então
F_{\text{hidro}} = 1000\cdot9{,}81\cdot30\cdot312{,}5.
Primeiro \rho g = 1000\cdot9{,}81 = 9\,810\\ \mathrm{N/m^{3}}.
Depois 9\,810\cdot30=294\,300\\ \mathrm{N/m^{2}\cdot m}.
Finalmente 294\,300\cdot312{,}5 = 91\,968\,750\\ \mathrm{N}.
  • Força total sobre a face voltada para a água (soma dos dois termos):
F_{\text{upstream}} = F_{\text{atm,upstream}} + F_{\text{hidro}} = 75\,975\,000 + 91\,968\,750 = 167\,943\,750\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Importante observar sobre a pressão atmosférica e o resultado prático:
  • A pressão atmosférica também age sobre a face oposta (a face seca, voltada para o ar) com a mesma intensidade p_{\text{atm}} e sobre a mesma área, produzindo uma força horizontal de mesmo módulo e sentido oposto.
  • Portanto, quando se pergunta a força horizontal resultante que efetivamente tende a deslocar/empurrar a represa (ou seja, a força líquida), as contribuições atmosféricas em ambos os lados se cancelam.
  • Assim, a força horizontal resultante sobre a represa (aquela que não é anulada pela pressão do ar do outro lado) é somente o termo hidrostático:
F_{\text{resultante}} = F_{\text{hidro}} = 91\,968\,750\\ \mathrm{N}.

Resposta

Força aplicada na face voltada para a água (água + pressão atmosférica): 1{,}67943750\times10^{8}\\ \mathrm{N}
Força horizontal resultante sobre a represa (considerando que a pressão atmosférica age em ambos os lados e se anula): 9{,}1968750\times10^{7}\\ \mathrm{N}

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