Determine o posto das seguintes matrizes e diga quais delas tem posto completo:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma única matriz quadrada 3\times3:
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 4 & 5 & 6 \\[4pt] 7 & 8 & 9\end{bmatrix}.
As perguntas são: determinar o posto de A e dizer se A tem posto completo.]

Passo 2

O que é “posto” (rank) e o que significa “posto completo”:
  • O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes (equivalente ao número máximo de colunas linearmente independentes).
  • Para uma matriz m\times n, o posto máximo possível é \min(m,n). Quando o posto alcança esse valor dizemos que a matriz tem posto completo.
  • No caso de uma matriz 3\times3, posto completo significa posto 3.
    Métodos práticos para encontrar o posto: aplicar eliminação de Gauss (reduzir a forma escalonada por linhas) e contar o número de linhas não nulas; alternativamente, para matrizes quadradas, calcular o determinante (se \det=0 então não tem posto completo).

Passo 3

Vou aplicar eliminação de Gauss com operações elementares (subtrair múltiplos de uma linha de outra não altera a independência das linhas nem o posto).
Escrevo a matriz inicial:
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 4 & 5 & 6 \\[4pt] 7 & 8 & 9\end{bmatrix}.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 7R_1. Calculemos linha a linha:
Para R_2:
R_2 - 4R_1 = [4,5,6] - 4[1,2,3] = [4-4,\;5-8,\;6-12] = [0,\;-3,\;-6].
Para R_3:
R_3 - 7R_1 = [7,8,9] - 7[1,2,3] = [7-7,\;8-14,\;9-21] = [0,\;-6,\;-12].
A matriz fica:
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -3 & -6 \\[4pt] 0 & -6 & -12 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Agora elimino o elemento abaixo de -3 na segunda coluna: faço R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Calcule:
R_3 - 2R_2 = [0,-6,-12] - 2[0,-3,-6] = [0,\; -6+6,\; -12+12] = [0,0,0].
Então a forma escalonada obtida é
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -3 & -6 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.
Há exatamente duas linhas não nulas (a primeira e a segunda). Pelo procedimento de Gauss, o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto da matriz. Portanto o posto de A é 2.]

Passo 5

Interpretação e verificação alternativa (dependência linear explícita):
A eliminação mostrou que a terceira linha ficou nula, o que indica que a terceira linha original é combinação linear das outras. Podemos encontrar a relação entre as linhas originais:
2\cdot[4,5,6] - [1,2,3] = [8-1,\;10-2,\;12-3] = [7,8,9],
ou seja,
R_3 = 2R_2 - R_1.
Isso confirma que as três linhas não são independentes e que existem apenas duas linhas independentes — posto 2.
Também, por ser uma matriz quadrada, se \det(A)=0 então não é invertível e não tem posto 3. As operações acima (subtrair múltiplos de uma linha de outra) não alteram o determinante; ao chegar numa linha nula a matriz triangular resultante tem determinante 0. Logo \det(A)=0, consistente com posto <3.

Passo 6

Conclusão prática para a prova:
  • Use eliminação de Gauss para contar linhas não nulas; é um método mecânico e rápido em papel.
  • Alternativamente, para matrizes 3\times3 pode-se calcular o determinante: se for zero, não tem posto completo; se não for zero, tem posto completo.
    No caso concreto, a eliminação foi suficiente e direta.

Resposta

\text{posto}(A)=2
A não tem posto completo (não é invertível).

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