Determine o posto das seguintes matrizes e diga quais delas tem posto completo: A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá uma única matriz quadrada 3\times3:
As perguntas são: determinar o posto de A e dizer se A tem posto completo.]
Passo 2
O que é “posto” (rank) e o que significa “posto completo”:
O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes (equivalente ao número máximo de colunas linearmente independentes).
Para uma matriz m\times n, o posto máximo possível é \min(m,n). Quando o posto alcança esse valor dizemos que a matriz tem posto completo.
No caso de uma matriz 3\times3, posto completo significa posto 3.
Métodos práticos para encontrar o posto: aplicar eliminação de Gauss (reduzir a forma escalonada por linhas) e contar o número de linhas não nulas; alternativamente, para matrizes quadradas, calcular o determinante (se \det=0 então não tem posto completo).
Passo 3
Vou aplicar eliminação de Gauss com operações elementares (subtrair múltiplos de uma linha de outra não altera a independência das linhas nem o posto).
Há exatamente duas linhas não nulas (a primeira e a segunda). Pelo procedimento de Gauss, o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto da matriz. Portanto o posto de A é 2.]
Passo 5
Interpretação e verificação alternativa (dependência linear explícita):
A eliminação mostrou que a terceira linha ficou nula, o que indica que a terceira linha original é combinação linear das outras. Podemos encontrar a relação entre as linhas originais:
Isso confirma que as três linhas não são independentes e que existem apenas duas linhas independentes — posto 2.
Também, por ser uma matriz quadrada, se \det(A)=0 então não é invertível e não tem posto 3. As operações acima (subtrair múltiplos de uma linha de outra) não alteram o determinante; ao chegar numa linha nula a matriz triangular resultante tem determinante 0. Logo \det(A)=0, consistente com posto <3.
Passo 6
Conclusão prática para a prova:
Use eliminação de Gauss para contar linhas não nulas; é um método mecânico e rápido em papel.
Alternativamente, para matrizes 3\times3 pode-se calcular o determinante: se for zero, não tem posto completo; se não for zero, tem posto completo.
No caso concreto, a eliminação foi suficiente e direta.
Resposta
\text{posto}(A)=2
A não tem posto completo (não é invertível).