Representar, no plano x 0 y, as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores do nível z dados :
f(x, y)=x y z=1, z=-1, z=2, z=-2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no plano xOy as curvas de nível da função
f(x,y)=x,y
correspondentes aos valores de nível
z=1, z=-1, z=2, z=-2
O conteúdo aqui é o conceito de curva de nível, que é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)= constante.

Passo 2

A definição de curva de nível para cada valor z é
(x,y)mid f(x,y)=z,
ou seja
x,y = z

Passo 3

Da equação
x,y = z
podemos isolar y (sempre que xneq0):
y = zx
Isto mostra que cada curva de nível é uma hipérbole equilátera com assíntotas os eixos x=0 e y=0.

Passo 4

Para z>0 (aqui z=1 e z=2) as hipérboles têm ramos nos quadrantes I e III, pois x e y têm o mesmo sinal. Especificamente:
z=1:;y=1x, z=2:;y=2x

Passo 5

Para z<0 (aqui z=-1 e z=-2) as hipérboles têm ramos nos quadrantes II e IV, pois x e y têm sinais opostos. Especificamente:
z=-1:;y=-1x, z=-2:;y=-2x

Resposta

As curvas de nível são as hipérboles dadas por
y = 1x, y = 2x, y = -1x, y = -2x,
sendo que as duas primeiras estão nos quadrantes I e III e as duas últimas nos quadrantes II e IV.

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