Questão 8 Resolva as inequações:
x-32 x+1 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x-32x+1 <= 1
Aqui o conteúdo envolvido é inequação racional: vamos achar o domínio, levar tudo a um único quociente e depois usar análise de sinais de numerador e denominador para encontrar onde a expressão é menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro isolamos tudo em um único lado:
x-32x+1 - 1 <= 0
Para juntar num só quociente, colocamos sobre o mesmo denominador:
x-3 - (2x+1)2x+1 <= 0 Longrightarrow -x - 42x+1 <= 0

Passo 3

Determinamos os pontos que anulam numerador e denominador, pois são onde o sinal pode mudar ou fica indefinido:
Numerador -x-4 = 0 em x = -4.
Denominador 2x+1 = 0 em x = -tfrac12.
O domínio da inequação é x neq -tfrac12.

Passo 4

Fazemos a análise de sinais de -x-42x+1 nos intervalos determinados por -4 e -tfrac12:
Para x < -4:
- Numerador -x-4>0 (pois x é menor que -4).
- Denominador 2x+1<0.
Logo a razão é negativa.
Para -4 < x < -tfrac12:
- Numerador -x-4<0.
- Denominador 2x+1<0.
Logo a razão é positiva.
Para x > -tfrac12:
- Numerador -x-4<0.
- Denominador 2x+1>0.
Logo a razão é negativa.
Também em x=-4 o quociente é zero, e em x=-tfrac12 ele é indefinido.

Passo 5

Queremos
-x-42x+1 <= 0,
ou seja, onde a fração é negativa ou zero. Pelos sinais acima, isso acontece em
(-infty,-4] (negativa ou zero em -4)
e em l(-tfrac12,inftyr) (negativa).
Não incluímos x=-tfrac12 porque dá divisão por zero.

Resposta

(-infty,,-4] ,cup, l(-tfrac12,inftyr)

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