Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como um número binário com sinal no sistema de complemento de 2 . Use um total de 5 bits incluindo o bit de sinal.
+13

Passo 1

O enunciado pede: representar o número decimal com sinal +13 como um número binário com sinal no sistema de complemento de 2, usando exatamente 5 bits no total (ou seja, o vetor de bits deve ter comprimento 5 e incluir o bit de sinal). Informações dadas: o número a converter é +13 e o formato requerido é complemento de 2 com 5 bits.

Passo 2

Entendendo o que significa “complemento de 2” com 5 bits (aula curta e suave).
  • Em complemento de 2 com n bits, o bit mais significativo (MSB) é o bit de sinal: 0 para números não-negativos e 1 para números negativos.
  • O intervalo de valores representáveis é
-2^{\,n-1}\quad\text{até}\quad 2^{\,n-1}-1.é
Aqui n é o número total de bits. Vou explicar: o termo 2^{\,n-1} vem do fato de que, com n bits, o peso do MSB (quando vale 1 e indica negativo) é -2^{\,n-1}; os demais bits têm pesos 2^{\,n-2},2^{\,n-3},\dots,2^{0}.

Passo 3

Aplicando para n=5:
\text{intervalo} = -2^{\,5-1}\\ \text{até}\\\ 2^{\,5-1}-1 = -2^{4}\\ \text{até}\\\ 2^{4}-1.éé
Calculemos os valores:
-2^{4} = -16,\qquad 2^{4}-1 = 16-1 = 15.
Portanto com 5 bits podemos representar os inteiros de -16 até +15. Como o número dado é +13, ele está dentro do intervalo e é representável.

Passo 4

Converter o valor absoluto |+13|=13 para binário (método das potências de 2).
  • Liste potências de 2 até passar de 13: 2^{3}=8,\;2^{2}=4,\;2^{1}=2,\;2^{0}=1.
  • Ache uma soma de potências que dê 13: 13 = 8 + 4 + 1 = 2^{3}+2^{2}+2^{0}.
    Isso corresponde aos bits (do mais significativo ao menos significativo) em 4 bits: 1 para 2^{3}, 1 para 2^{2}, 0 para 2^{1}, 1 para 2^{0}. Logo a representação binária de 13 em 4 bits é
1101.
(Se preferir a técnica de divisão por 2: 13\div2=6 resto 1, 6\div2=3 resto 0, 3\div2=1 resto 1, 1\div2=0 resto 1 — lendo restos de baixo para cima: 1101.)

Passo 5

Ajustar para o total de 5 bits exigidos.
  • Como o número é positivo, no complemento de 2 o MSB (bit de sinal) deve ser 0.
  • Temos atualmente 1101 (quatro bits). Para formar um vetor de 5 bits, acrescentamos zeros à esquerda até totalizar 5 bits. Colocamos um 0 como bit de sinal e, se necessário, zeros adicionais à esquerda.
    Assim obtemos
01101.

Passo 6

Verificação rápida (checar que a representação vale mesmo +13 em complemento de 2).
  • Interprete \,01101 como soma de pesos: o bit mais à esquerda é 0 (peso -2^{4} quando seria negativo, mas aqui é 0), os outros bits têm pesos positivos:
0\cdot 2^{4} + 1\cdot 2^{3} + 1\cdot 2^{2} + 0\cdot 2^{1} + 1\cdot 2^{0} = 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 13.
Confirmado: a palavra de 5 bits \,01101 representa +13.

Resposta

\,01101

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