Represente cada um dos seguintes números decimais com sinal como um número binário com sinal no sistema de complemento de 2 . Use um total de 5 bits incluindo o bit de sinal.
-9

Passo 1

O enunciado pede: representar o número decimal -9 como um número binário com sinal no sistema de complemento de 2, usando um total de 5 bits (incluindo o bit de sinal).\n
Informações relevantes dadas:
\text{o número a converter: } -9ú
\text{número de bits total: } 5ú
Verificação rápida de alcance: com 5 bits em complemento de 2 os valores representáveis vão de -2^{4} até 2^{4}-1, ou seja,
-16 \text{ até } 15.é
Como -9 está entre -16 e 15, ele é representável com 5 bits.

Passo 2

Método que vamos usar (muito usado na prova): para um inteiro negativo -x (com x>0), represente primeiro x em binário usando os 5 bits, depois aplique o complemento de 2 — isto é, inverta todos os bits e some 1. Vou explicar por que isso funciona de forma curta e intuitiva.\n
Raciocínio por trás do complemento de 2: com N bits um número negativo -x é representado pelo inteiro sem sinal
2^{N}-x.
Fazer “inverter bits e somar 1” é exatamente obter esse 2^{N}-x em representação binária. Então o procedimento é correto e mecânico — ótimo para prova.

Passo 3

Converter o valor absoluto 9 para binário em 5 bits.\n
Dividindo por potências de 2: 9 = 8 + 1. As potências de 2 (para 5 bits) são 16,8,4,2,1, e como 9<16 usamos 0 no bit de 16 e 1 no bit de 8, depois 0 no de 4, 0 no de 2 e 1 no de 1. Portanto:
9_{10} = 01001_{2}.

Passo 4

Aplicar o complemento de 2: primeiro invertemos todos os bits de \,01001\,.\n
Invertendo bit a bit:
01001 \xrightarrow{\text{inverter}} 10110.

Passo 5

Agora somamos 1 ao resultado invertido:
10110 + 00001 = 10111.
Faço a adição bit a bit (da direita para a esquerda) para deixar claro:
\begin{array}{r} \;10110\\\\ +\,00001\\\ \hline \;10111 \end{array}
Sem carry extra além do tamanho de 5 bits (não houve overflow), então a representação final em 5 bits é \,10111\,.

Passo 6

Cheque de consistência (para você ficar seguro na prova): interpretar \,10111\, como complemento de 2 com 5 bits. Os pesos dos bits são -2^{4},2^{3},2^{2},2^{1},2^{0}, ou seja -16,8,4,2,1. Então:
1\cdot(-16)+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+1\cdot1 = -16 + 4 + 2 + 1 = -9.
Confere certinho: \,10111_2 (complemento de 2, 5 bits) vale -9.\n
Dica rápida alternativa: calcular 2^{5}-9 = 32-9=23 e verificar que 23_{10}=10111_{2} — é a mesma resposta por outra via.

Resposta

\,10111\,

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