Represente, no círculo trigonométrico, o ponto correspondente aos arcos abaixo:
\theta=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para representar, no círculo trigonométrico, o ponto correspondente ao arco \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Informações dadas:
  • O ângulo é \theta=\dfrac{\pi}{3} (em radianos).
  • Precisa-se do ponto do círculo unitário que corresponde a esse ângulo (ou seja, o ponto com coordenadas (\cos\theta,\sin\theta)).

Passo 2

Entendendo o que é o círculo trigonométrico e como obter o ponto:
  • O círculo trigonométrico é o círculo de raio 1 centrado na origem do plano cartesiano.
  • Cada ângulo \theta (medido a partir do eixo positivo x, no sentido anti-horário se \theta>0) corresponde a um ponto do círculo cujas coordenadas são:
(\cos\theta,\sin\theta).
Aqui \cos\theta é a abscissa (posição em x) e \sin\theta é a ordenada (posição em y) do ponto no círculo unitário.

Passo 3

Identificar em qual quadrante está \theta=\dfrac{\pi}{3} e o seu valor em graus:
  • \dfrac{\pi}{3} radianos equivale a 60^\circ porque \pi radianos =180^\circ, logo \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{180^\circ}{3}=60^\circ.
  • Ângulo de 60^\circ está no primeiro quadrante (entre 0 e \dfrac{\pi}{2}), portanto \cos\theta>0 e \sin\theta>0.

Passo 4

Calcular \cos e \sin de \dfrac{\pi}{3} usando um triângulo equilátero (explicação didática passo a passo):
  • Considere um triângulo equilátero com todos os lados iguais a 2. Os ângulos são 60^\circ cada um.
  • Se traçar a altura desse triângulo, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Cada triângulo retângulo tem:
    • hipotenusa igual a 2 (lado do equilátero),
    • cateto adjacente ao ângulo de 60^\circ igual a 1 (metade da base),
    • cateto oposto ao ângulo de 60^\circ igual à altura, que calculamos por Pitágoras:
\text{altura}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
  • Agora normalizamos para o círculo unitário (hipotenusa =1) dividindo todos os lados por 2. Assim, para o ângulo de 60^\circ (ou \dfrac{\pi}{3}):
    • cateto adjacente (projetado em x) = \dfrac{1}{2},
    • cateto oposto (projetado em y) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Portanto:
\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (intuitiva):
  • No primeiro quadrante ambos são positivos, e os valores acima são consistentes com tabelas trigonométricas básicas: \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Decimal aproximado (só para intuição): \dfrac{1}{2}=0,5 e \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866.

Passo 6

Como desenhar no círculo trigonométrico (passo a passo prático que você pode reproduzir na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque um círculo de raio 1 centrado na origem.
  2. Partindo do ponto (1,0) (eixo positivo x), meça um ângulo de \dfrac{\pi}{3} no sentido anti-horário. Uma régua e um transferidor ajudam; mentalmente, é um pouco mais que um terço de \dfrac{\pi}{2}.
  3. Trace a linha que faz esse ângulo e marque o ponto onde ela intercepta o círculo.
  4. Esse ponto tem coordenadas \left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right). Se quiser, trace linhas perpendiculares até os eixos para visualizar as projeções x=\dfrac{1}{2} e y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

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