Represente, no círculo trigonométrico, o ponto correspondente aos arcos abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para representar, no círculo trigonométrico, o ponto correspondente ao arco
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O ângulo é
(em radianos). - Precisa-se do ponto do círculo unitário que corresponde a esse ângulo (ou seja, o ponto com coordenadas
).
Passo 2
Entendendo o que é o círculo trigonométrico e como obter o ponto:
- O círculo trigonométrico é o círculo de raio
centrado na origem do plano cartesiano. - Cada ângulo
(medido a partir do eixo positivo , no sentido anti-horário se ) corresponde a um ponto do círculo cujas coordenadas são:
Aqui
é a abscissa (posição em
) e
é a ordenada (posição em
) do ponto no círculo unitário.
Passo 3
Identificar em qual quadrante está
e o seu valor em graus:
-
radianos equivale a porque radianos , logo . - Ângulo de
está no primeiro quadrante (entre e ), portanto e .
Passo 4
Calcular
e
de
usando um triângulo equilátero (explicação didática passo a passo):
- Considere um triângulo equilátero com todos os lados iguais a
. Os ângulos são cada um. - Se traçar a altura desse triângulo, ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Cada triângulo retângulo tem:
- hipotenusa igual a
(lado do equilátero), - cateto adjacente ao ângulo de
igual a (metade da base), - cateto oposto ao ângulo de
igual à altura, que calculamos por Pitágoras:
- hipotenusa igual a
- Agora normalizamos para o círculo unitário (hipotenusa
) dividindo todos os lados por . Assim, para o ângulo de (ou ): - cateto adjacente (projetado em
) = , - cateto oposto (projetado em
) = .
- cateto adjacente (projetado em
- Portanto:
Passo 5
Verificação rápida (intuitiva):
- No primeiro quadrante ambos são positivos, e os valores acima são consistentes com tabelas trigonométricas básicas:
e . - Decimal aproximado (só para intuição):
e .
Passo 6
Como desenhar no círculo trigonométrico (passo a passo prático que você pode reproduzir na prova):
- Desenhe os eixos
e e marque um círculo de raio centrado na origem. - Partindo do ponto
(eixo positivo ), meça um ângulo de no sentido anti-horário. Uma régua e um transferidor ajudam; mentalmente, é um pouco mais que um terço de . - Trace a linha que faz esse ângulo e marque o ponto onde ela intercepta o círculo.
- Esse ponto tem coordenadas
. Se quiser, trace linhas perpendiculares até os eixos para visualizar as projeções e .