Represente, no círculo trigonométrico, o ponto correspondente aos arcos abaixo:
\theta=\frac{32 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para representar, no círculo trigonométrico, o ponto correspondente ao arco \theta=\frac{32\pi}{3}.
Informações dadas:
  • O ângulo é \theta=\frac{32\pi}{3}.
  • Precisa-se identificar o ponto na circunferência unitária que corresponde a esse ângulo (ou seja, as coordenadas (x,y)=(\cos\theta,\sin\theta) no círculo trigonométrico).

Passo 2

Entender periodicidade: ângulos no círculo trigonométrico são equivalentes se diferem por um múltiplo inteiro de 2\pi, porque girar uma volta completa de 2\pi leva ao mesmo ponto. Em fórmulas:
\theta \sim \theta + 2k\pi\quad\text{para qualquer }k\in\mathbb{Z}.
Logo, para localizar o ponto basta reduzir \theta módulo 2\pi.

Passo 3

Reduzir \theta=\frac{32\pi}{3} módulo 2\pi. Note que 2\pi=\frac{6\pi}{3}. Podemos subtrair múltiplos inteiros de 2\pi:
\frac{32\pi}{3} - 5\cdot 2\pi = \frac{32\pi}{3} - 10\pi.
Transformando 10\pi em terços:
10\pi = \frac{30\pi}{3},
então
\frac{32\pi}{3} - \frac{30\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Portanto \displaystyle \frac{32\pi}{3} é equivalente a \displaystyle \frac{2\pi}{3} no círculo trigonométrico:
\frac{32\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3}\\ (\bmod\\\ 2\pi).

Passo 4

Localizar \displaystyle \frac{2\pi}{3} no círculo: em graus isso é
\frac{2\pi}{3} = 120^\circ.
No círculo trigonométrico, 120^\circ está no segundo quadrante (entre 90^\circ e 180^\circ). Nesse quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo.

Passo 5

Calcular o ângulo de referência (o ângulo agudo equivalente dentro do primeiro quadrante). O ângulo de referência para um ângulo \theta no segundo quadrante é \pi-\theta. Assim:
\text{ângulo de referência} = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.âê
Sabemos os valores trigonométricos notáveis para \displaystyle \frac{\pi}{3}:
\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Aplicar os sinais do segundo quadrante: cosseno negativo, seno positivo. Logo, para \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3} (equivalente ao dado),
\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2},\qquad \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto o ponto no círculo trigonométrico correspondente ao ângulo dado é
\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Resposta

\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

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