Represente o conjunto \mathrm{A}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} ;\left|e^{i z}\right|>1\right\} no plano complexo.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto \mathrm{A}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} ;\left|e^{i z}\right|>1\right\} e pede que o representemos no plano complexo.
Informações relevantes fornecidas:
A condição é \left|e^{i z}\right|>1.
A variável z é um número complexo arbitrário.
Passo 2
Vamos escrever z em coordenadas reais: ponha z = x + i y com x,y \in \mathbb{R}. Isso transforma a condição em algo sobre x e y. Aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z.
Passo 3
Calcule i z. Temos
i z = i(x+ i y) = i x + i^2 y = i x - y.
Portanto podemos reescrever a exponencial:
e^{i z} = e^{i x - y}.
Passo 4
Use a propriedade da exponencial complexa: para qualquer u,v\in\mathbb{R} vale
e^{u+ i v} = e^{u}\,e^{i v}.
Aplicando com u = -y e v = x obtemos
e^{i z} = e^{-y}\,e^{i x}.
Passo 5
Agora calcule o módulo. Lembre que |e^{i x}|=1 para todo x\in\mathbb{R} (porque e^{i x} está no círculo unitário). Assim
Geometricamente, é o semiplano inferior aberto do plano complexo, ou seja, todos os pontos estritamente abaixo do eixo real. Exemplo: z=1-i pertence a \mathrm{A} porque \operatorname{Im}(1-i)=-1<0; já z=i não pertence porque \operatorname{Im}(i)=1\ge 0.