Represente o conjunto \mathrm{A}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} ;\left|e^{i z}\right|>1\right\} no plano complexo.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathrm{A}=\left\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} ;\left|e^{i z}\right|>1\right\} e pede que o representemos no plano complexo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A condição é \left|e^{i z}\right|>1.
  • A variável z é um número complexo arbitrário.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais: ponha z = x + i y com x,y \in \mathbb{R}. Isso transforma a condição em algo sobre x e y. Aqui x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z.

Passo 3

Calcule i z. Temos
i z = i(x+ i y) = i x + i^2 y = i x - y.
Portanto podemos reescrever a exponencial:
e^{i z} = e^{i x - y}.

Passo 4

Use a propriedade da exponencial complexa: para qualquer u,v\in\mathbb{R} vale
e^{u+ i v} = e^{u}\,e^{i v}.
Aplicando com u = -y e v = x obtemos
e^{i z} = e^{-y}\,e^{i x}.

Passo 5

Agora calcule o módulo. Lembre que |e^{i x}|=1 para todo x\in\mathbb{R} (porque e^{i x} está no círculo unitário). Assim
\left|e^{i z}\right| = \left|e^{-y}\,e^{i x}\right| = e^{-y}\,\left|e^{i x}\right| = e^{-y}.
Também se pode ver isso pela regra geral: se w = u+iv então |e^{w}| = e^{u}; aqui w=i z tem parte real -y.

Passo 6

A condição do conjunto fica então
e^{-y} > 1.
A função exponencial é estritamente crescente e positiva, portanto e^{t}>1 se, e somente se, t>0. Aplicando isso com t=-y obtemos
-y>0 \quad\Longleftrightarrow\quad y<0.

Passo 7

Concluímos que a condição \left|e^{i z}\right|>1 equivale a \operatorname{Im}(z)=y<0. Em palavras: z deve ter parte imaginária negativa.

Passo 8

Escrevendo o conjunto de forma explícita:
\mathrm{A}=\{x+i y\in\mathbb{C}\mid y<0,\; x\in\mathbb{R}\}=\{z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Im}(z)<0\}.
Geometricamente, é o semiplano inferior aberto do plano complexo, ou seja, todos os pontos estritamente abaixo do eixo real. Exemplo: z=1-i pertence a \mathrm{A} porque \operatorname{Im}(1-i)=-1<0; já z=i não pertence porque \operatorname{Im}(i)=1\ge 0.

Resposta

\mathrm{A}=\{z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Im}(z)<0\}=\{x+iy\in\mathbb{C}\mid y<0,\;x\in\mathbb{R}\}

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