Determine a forma algébrica e a forma polar das raízes da equação z^{3}+64 i=0 e represente graficamente o polígono cujos vértices são essas raízes.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá.
  • Pede: determinar a forma algébrica (cartesiana) e a forma polar das raízes da equação \,z^{3}+64 i=0\, e representar graficamente o polígono cujos vértices são essas raízes.
  • Informação dada: a equação pode ser reescrita como
z^{3} = -64 i.
Nada mais foi dado; portanto vamos encontrar as três raízes complexas de z^{3}=-64 i.

Passo 2

Ideia e fórmula geral para raízes n-ésimas de um número complexo — explicação didática.
  • Se tivermos um número complexo escrito em forma polar como \,w = r e^{i\varphi}\,, onde:
    • \,r>0\, é o módulo de w (ou seja \,r=|w|\,),
    • \,\varphi\in\mathbb{R}\, é um argumento de w (ângulo),
      então as n raízes n-ésimas de w são dadas por
    z_k = r^{1/n}\,e^{i\left(\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
  • Por que funciona (intuição): elevar z_k à potência n multiplica o ângulo por n e eleva o módulo à potência n, então z_k^n = \big(r^{1/n}\big)^n e^{i(\varphi+2\pi k)} = r e^{i\varphi}=w,já que e^{i2\pi k}=1. O termo 2\pi k gera todas as raízes distintas espalhadas igualmente no círculo (ângulos separados por 2\pi/n).
  • O que cada símbolo significa:
    • \,r^{1/n}\, é o módulo da raiz;
    • \,\frac{\varphi+2\pi k}{n}\, é o argumento da k-ésima raiz.
Vamos aplicar isso ao nosso caso com n=3 e w=-64 i.

Passo 3

Colocar -64 i em forma polar (módulo e argumento).
  • Módulo: | -64 i | = 64.
  • Argumento: o ponto -64 i está no eixo imaginário negativo, cujo argumento principal é -\tfrac{\pi}{2} (poderia também usar \tfrac{3\pi}{2}, são equivalentes modulo 2\pi). Vou usar \varphi = -\tfrac{\pi}{2}.
  • Portanto, em forma polar: -64 i = 64\,e^{i(-\pi/2)}.

Passo 4

Aplicar a fórmula das raízes cúbicas ( n=3).
  • O módulo das raízes será r^{1/3} = 64^{1/3} = 4.
  • Os argumentos das raízes são \theta_k = \frac{-\pi/2 + 2\pi k}{3},\qquad k=0,1,2.
  • Calculando explicitamente: \theta_0 = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6},
\theta_1 = \frac{-\pi/2 + 2\pi}{3} = \frac{3\pi/2}{3} = \frac{\pi}{2},
\theta_2 = \frac{-\pi/2 + 4\pi}{3} = \frac{7\pi/2}{3} = \frac{7\pi}{6}.
  • Logo, em forma polar as três raízes são z_k = 4\,e^{i\theta_k}=4\big(\cos\theta_k + i\sin\theta_k\big),\qquad k=0,1,2,com \theta_0=-\tfrac{\pi}{6}, \theta_1=\tfrac{\pi}{2}, \theta_2=\tfrac{7\pi}{6}.

Passo 5

Passar as formas polares para a forma algébrica (retangular), calculando cossenos e senos.
  • Para \theta_0 = -\tfrac{\pi}{6}: \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2}.Então z_0 = 4\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + i\left(-\tfrac{1}{2}\right)\right) =4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} -4\cdot\tfrac{1}{2}i =2\sqrt{3}-2i.
  • Para \theta_1 = \tfrac{\pi}{2}: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,então z_1 = 4(0 + i\cdot 1)=4i.
  • Para \theta_2 = \tfrac{7\pi}{6}: \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)=-\tfrac{1}{2},então z_2 = 4\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2} - i\tfrac{1}{2}\right) =-2\sqrt{3}-2i.
  • Portanto as formas algébricas (cartesianas) são \,2\sqrt{3}-2i,\;4i,\;-2\sqrt{3}-2i\,.

Passo 6

Representação geométrica do polígono formado pelas raízes — análise didática.
  • Coordenadas dos vértices (pegas das formas algébricas):
    • z_0=(2\sqrt{3},\,-2),
    • z_1=(0,\,4),
    • z_2=(-2\sqrt{3},\,-2).
  • Observações geométricas:
    • Todos têm módulo |z_k|=4, ou seja, estão sobre o círculo de raio 4 centrado na origem.
    • Os ângulos são -\tfrac{\pi}{6},\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \tfrac{7\pi}{6}, que se diferenciam por \tfrac{2\pi}{3} (120°). Isso significa que os vértices estão igualmente espaçados — formam um triângulo equilátero.
    • O centróide (média das coordenadas) é \frac{z_0+z_1+z_2}{3} = \frac{(2\sqrt{3}+0-2\sqrt{3}) + i(-2+4-2)}{3} = 0,então o triângulo está centrado na origem.
    • Comprimento do lado (por exemplo entre z_0 e z_2): |z_0-z_2| = |(2\sqrt{3}-(-2\sqrt{3})) + i( -2 -(-2))| = |4\sqrt{3} + i\cdot 0| = 4\sqrt{3}.Entre z_0 e z_1 também dá 4\sqrt{3} (checar com o teorema de Pitágoras se quiser).
    • A altura do triângulo é 6 (diferença de y entre z_1 e a base formada por z_0,z_2), coerente com um triângulo equilátero de lado 4\sqrt{3} porque a altura de um equilátero é \tfrac{\sqrt{3}}{2} vezes o lado, aqui \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4\sqrt{3}=6.
  • Conclusão geométrica: o polígono é um triângulo equilátero de vértices nos pontos dados, circunscrito ao círculo de raio 4 centrado na origem.

Resposta

Forma algébrica das raízes:
2\sqrt{3}-2i
4i
-2\sqrt{3}-2i
Forma polar das raízes:
4e^{-i\pi/6}
4e^{i\pi/2}
4e^{i7\pi/6}
Descrição do polígono:
Triângulo equilátero com vértices em (2\sqrt{3},-2), (0,4) e (-2\sqrt{3},-2), centrado na origem, lado de comprimento 4\sqrt{3} e circunferência circunscrita de raio 4.

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