Determine a forma algébrica e a forma polar das raízes da equação
e represente graficamente o polígono cujos vértices são essas raízes.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá.
- Pede: determinar a forma algébrica (cartesiana) e a forma polar das raízes da equação
e representar graficamente o polígono cujos vértices são essas raízes. - Informação dada: a equação pode ser reescrita como
Nada mais foi dado; portanto vamos encontrar as três raízes complexas de
.
Passo 2
Ideia e fórmula geral para raízes
-ésimas de um número complexo — explicação didática.
- Se tivermos um número complexo escrito em forma polar como
, onde: -
é o módulo de (ou seja ), -
é um argumento de (ângulo),
então asraízes -ésimas de são dadas por
-
- Por que funciona (intuição): elevar
à potência multiplica o ângulo por e eleva o módulo à potência , então já que . O termo gera todas as raízes distintas espalhadas igualmente no círculo (ângulos separados por ). - O que cada símbolo significa:
-
é o módulo da raiz; -
é o argumento da -ésima raiz.
-
Vamos aplicar isso ao nosso caso com
e
.
Passo 3
Colocar
em forma polar (módulo e argumento).
- Módulo:
- Argumento: o ponto
está no eixo imaginário negativo, cujo argumento principal é (poderia também usar , são equivalentes modulo ). Vou usar . - Portanto, em forma polar:
Passo 4
Aplicar a fórmula das raízes cúbicas (
).
- O módulo das raízes será
- Os argumentos das raízes são
- Calculando explicitamente:
- Logo, em forma polar as três raízes são
com , , .
Passo 5
Passar as formas polares para a forma algébrica (retangular), calculando cossenos e senos.
- Para
: Então - Para
: então - Para
: então - Portanto as formas algébricas (cartesianas) são
.
Passo 6
Representação geométrica do polígono formado pelas raízes — análise didática.
- Coordenadas dos vértices (pegas das formas algébricas):
-
, -
, -
.
-
- Observações geométricas:
- Todos têm módulo
, ou seja, estão sobre o círculo de raio centrado na origem. - Os ângulos são
, que se diferenciam por (120°). Isso significa que os vértices estão igualmente espaçados — formam um triângulo equilátero. - O centróide (média das coordenadas) é
então o triângulo está centrado na origem. - Comprimento do lado (por exemplo entre
e ): Entre e também dá (checar com o teorema de Pitágoras se quiser). - A altura do triângulo é
(diferença de entre e a base formada por ), coerente com um triângulo equilátero de lado porque a altura de um equilátero é vezes o lado, aqui .
- Todos têm módulo
- Conclusão geométrica: o polígono é um triângulo equilátero de vértices nos pontos dados, circunscrito ao círculo de raio
centrado na origem.
Resposta
Forma algébrica das raízes:
Forma polar das raízes:
Descrição do polígono:
Triângulo equilátero com vértices em ,
e
, centrado na origem, lado de comprimento
e circunferência circunscrita de raio
.
Triângulo equilátero com vértices em