Ex: Determine a Densidade Planar e o Fator de Empacotamento Planar do plano ( |0| ), considerando um metal do sistema cúbico de face centrada (CFC) com a_{0}=0,4 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações fornecidas (assunções claras):
  • Pedido: determinar a densidade planar e o fator de empacotamento planar do plano (100) (estou assumindo que a notação (|0|) do enunciado refere-se ao plano (100), isto é, uma face do cubo).
  • Dados: cristal cúbico de faces centradas (CFC, ou FCC) com a_{0}=0,4\\ \mathrm{nm}.
  • O que preciso obter:
    1. Densidade planar = número de átomos por unidade de área no plano (100).
    2. Fator de empacotamento planar = fração da área do plano ocupada pelas projeções circulares dos átomos naquele plano.

Passo 2

Entendendo a geometria do CFC e quais átomos pertencem ao plano (100)
  • Na rede CFC cada célula cúbica tem átomos nos 8 vértices (cantos) e em 6 centros das faces.
  • O plano (100) corresponde a uma face do cubo (um quadrado de lado a_{0}). Os átomos que aparecem nesse plano são:
    • os 4 átomos dos vértices da face (cada vértice pertence a 4 faces equivalentes no mesmo plano da malha, portanto cada vértice contribui com 1/4 de átomo para a face considerada);
    • o átomo centrado na face (ficando totalmente no plano), que contribui com 1 átomo.
  • Contagem total de átomos efetivos na face (por célula): explico passo a passo:
    • contribuição dos vértices: 4 vértices \times 1/4 por vértice =1 átomo;
    • contribuição do centro da face: 1 átomo;
    • total: 1+1=2 átomos por área a_{0}^{2} (a área da face).

Passo 3

Fórmula e cálculo da densidade planar (átomos por unidade de área)
  • Definição: densidade planar = número de átomos na área do plano dividido pela área. Aqui: \text{Densidade planar}=\frac{\text{número de átomos na face}}{\text{área da face}}=\frac{2}{a_{0}^{2}}.úáá
  • Substituindo a_{0}=0,4\\ \mathrm{nm}: a_{0}^{2}=(0,4\\ \mathrm{nm})^{2}=0,16\\ \mathrm{nm}^{2}.
\text{Densidade planar}=\frac{2}{0,16\\ \mathrm{nm}^{2}}=12,5\\ \mathrm{átomos}\,\mathrm{nm}^{-2}.á
  • Interpretação rápida: em cada quadrado de lado 0,4\\ \mathrm{nm} há o equivalente a 2 átomos, então por unidade de área dá 12,5 átomos por \mathrm{nm}^{2}.

Passo 4

Definição do fator de empacotamento planar (fatia de área ocupada pelos átomos)
  • Pensamento físico: projetando os átomos sobre o plano, cada átomo aparece como um círculo de área \pi R^{2}, onde R é o raio atômico. O fator de empacotamento planar (FEP) é: \text{FEP}=\frac{\text{área total dos círculos projetados}}{\text{área do quadrado }a_{0}^{2}}.áíá
  • Na face temos o equivalente a 2 átomos (conforme contagem do passo anterior), logo área ocupada pelos círculos: \text{área ocupada}=2\pi R^{2}.á

Passo 5

Relação entre raio atômico R e parâmetro de rede a_{0} em CFC
  • Em CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. Na diagonal da face cabem 4 raios (do átomo do canto até o átomo do canto oposto passando pelo átomo no centro da face), portanto: 4R=\sqrt{2}\,a_{0}.
  • Isolando R: R=\frac{\sqrt{2}}{4}\,a_{0}=\frac{a_{0}}{2\sqrt{2}}.
  • Então R^{2}=\frac{a_{0}^{2}}{8}.

Passo 6

Cálculo algébrico do FEP e simplificação (resultado independente de a_{0})
  • Substituindo R^{2} na expressão da área ocupada: \text{área ocupada}=2\pi R^{2}=2\pi\left(\frac{a_{0}^{2}}{8}\right)=\frac{\pi}{4}\,a_{0}^{2}.á
  • Dividindo pela área do quadrado a_{0}^{2}: \text{FEP}=\frac{\frac{\pi}{4}\,a_{0}^{2}}{a_{0}^{2}}=\frac{\pi}{4}.
  • Em valor numérico: \frac{\pi}{4}\approx 0,7854\quad\text{ou}\quad 78,54\%.
  • Observação útil: o FEP do plano (100) em CFC é uma constante geométrica \pi/4, independente de a_{0}.

Passo 7

Resumo prático e dica para prova
  • Densidade planar de (100) em CFC: conte as contribuições fracionárias (4 cantos \times 1/4 + 1 centro = 2 átomos) e divida por a_{0}^{2}.
  • Fator de empacotamento planar: calcule área total dos círculos projetados (número eficaz de átomos \times \pi R^{2}), use R=\dfrac{a_{0}}{2\sqrt{2}} para eliminar R e simplificar; costuma dar uma fração com \pi.
  • Mnemônica: face CFC sempre tem 2 átomos por face; isso facilita densidade planar da face.

Resposta

\text{Densidade planar} = 12,5\\ \mathrm{átomos}\,\mathrm{nm}^{-2}á
\text{Fator de empacotamento planar} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0,7854 = 78,54\%

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