Ex: Determine a Densidade Planar e o Fator de Empacotamento Planar do plano (
), considerando um metal do sistema cúbico de face centrada (CFC) com
.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações fornecidas (assunções claras):
- Pedido: determinar a densidade planar e o fator de empacotamento planar do plano
(estou assumindo que a notação do enunciado refere-se ao plano , isto é, uma face do cubo). - Dados: cristal cúbico de faces centradas (CFC, ou FCC) com
. - O que preciso obter:
- Densidade planar = número de átomos por unidade de área no plano
. - Fator de empacotamento planar = fração da área do plano ocupada pelas projeções circulares dos átomos naquele plano.
- Densidade planar = número de átomos por unidade de área no plano
Passo 2
Entendendo a geometria do CFC e quais átomos pertencem ao plano
- Na rede CFC cada célula cúbica tem átomos nos 8 vértices (cantos) e em 6 centros das faces.
- O plano
corresponde a uma face do cubo (um quadrado de lado ). Os átomos que aparecem nesse plano são: - os 4 átomos dos vértices da face (cada vértice pertence a 4 faces equivalentes no mesmo plano da malha, portanto cada vértice contribui com
de átomo para a face considerada); - o átomo centrado na face (ficando totalmente no plano), que contribui com
átomo.
- os 4 átomos dos vértices da face (cada vértice pertence a 4 faces equivalentes no mesmo plano da malha, portanto cada vértice contribui com
- Contagem total de átomos efetivos na face (por célula): explico passo a passo:
- contribuição dos vértices:
vértices por vértice átomo; - contribuição do centro da face:
átomo; - total:
átomos por área (a área da face).
- contribuição dos vértices:
Passo 3
Fórmula e cálculo da densidade planar (átomos por unidade de área)
- Definição: densidade planar
número de átomos na área do plano dividido pela área. Aqui: - Substituindo
:
- Interpretação rápida: em cada quadrado de lado
há o equivalente a átomos, então por unidade de área dá átomos por .
Passo 4
Definição do fator de empacotamento planar (fatia de área ocupada pelos átomos)
- Pensamento físico: projetando os átomos sobre o plano, cada átomo aparece como um círculo de área
, onde é o raio atômico. O fator de empacotamento planar (FEP) é: - Na face temos o equivalente a
átomos (conforme contagem do passo anterior), logo área ocupada pelos círculos:
Passo 5
Relação entre raio atômico
e parâmetro de rede
em CFC
- Em CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. Na diagonal da face cabem 4 raios (do átomo do canto até o átomo do canto oposto passando pelo átomo no centro da face), portanto:
- Isolando
: - Então
Passo 6
Cálculo algébrico do FEP e simplificação (resultado independente de
)
- Substituindo
na expressão da área ocupada: - Dividindo pela área do quadrado
: - Em valor numérico:
- Observação útil: o FEP do plano
em CFC é uma constante geométrica , independente de .
Passo 7
Resumo prático e dica para prova
- Densidade planar de
em CFC: conte as contribuições fracionárias (4 cantos + 1 centro = 2 átomos) e divida por . - Fator de empacotamento planar: calcule área total dos círculos projetados (número eficaz de átomos
), use para eliminar e simplificar; costuma dar uma fração com . - Mnemônica: face CFC sempre tem 2 átomos por face; isso facilita densidade planar da face.