Represente f(x) na forma da integral (11).
f(x)=\left\{\begin{array}{rrr}x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para representar a função
f(x)=\begin{cases} x, & \text{se } 0<x<1,\\[4pt] 0, & \text{se } x>1, \end{cases}
na forma da “integral (11)”. As informações dadas são: a definição por partes de f(x) (valores em 0<x<1 e em x>1). A pergunta é: encontrar uma representação integral equivalentes a essa função (ou seja, escrever f(x) como uma integral que reproduz os mesmos valores para todo x considerado).]

Passo 2

Vou usar a representação integral padrão que expressa uma função a partir da sua derivada no sentido de distribuições usando a função degrau de Heaviside. A forma que vamos usar é
f(x)=\int_{0}^{\infty} f'(t)\,H(x-t)\,dt,
válida quando f(0^+)=0\) (isto é, quando a contribuição da origem é nula). Aqui vou explicar o que são os objetos envolvidos: \[H(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 1, & y>0, \end{cases}
é a função degrau de Heaviside (aqui eu uso a convenção H(0)\] não importante para a integral). A função \(H(x-t) é igual a 1 quando t<x e igual a 0 quando t>x. Portanto, para t variando, a multiplicação por H(x-t) “liga” apenas os termos com t\le x. A ideia da representação é reconstituir f(x) somando as contribuições de f'(t) até t=x.]

Passo 3

Precisamos encontrar f'(t) no sentido clássico/distribucional. A função f é continuamente igual a t em 0<t<1 e é 0 para t>1. Portanto, no sentido clássico temos:
f'(t)=1\quad\text{para }0<t<1, \qquad f'(t)=0\quad\text{para }t>1.
Porém existe uma descontinuidade em t=1: o limite à esquerda é f(1^-)=1 e o limite à direita é f(1^+)=0. Essa queda de altura -1 aparece, na derivada no sentido de distribuições, como um termo com delta de Dirac. Assim, a derivada no sentido de distribuições é
f'(t)=\mathbf{1}_{(0,1)}(t)-\delta(t-1),
onde \mathbf{1}_{(0,1)}(t) é a função indicadora do intervalo (0,1) (vale 1 em (0,1) e 0 fora) e \delta é o delta de Dirac; o coeficiente -1 do \delta(t-1) é justamente o tamanho da queda f(1^+)-f(1^-)=0-1=-1.

Passo 4

Agora substituímos essa expressão de f'(t) na representação integral:
f(x)=\int_{0}^{\infty}\big(\mathbf{1}_{(0,1)}(t)-\delta(t-1)\big)\,H(x-t)\,dt.
Separamos a integral em duas:
f(x)=\int_{0}^{\infty}\mathbf{1}_{(0,1)}(t)\,H(x-t)\,dt \;-\; \int_{0}^{\infty}\delta(t-1)\,H(x-t)\,dt.

Passo 5

Vamos avaliar cada termo. No primeiro,
\int_{0}^{\infty}\mathbf{1}_{(0,1)}(t)\,H(x-t)\,dt =\int_{0}^{1} H(x-t)\,dt,
pois \mathbf{1}_{(0,1)}(t) restringe a integração a t\in(0,1). Para o segundo, a propriedade da delta dá
\int_{0}^{\infty}\delta(t-1)\,H(x-t)\,dt=H(x-1),
porque a integral “pega” o valor de H(x-t) em t=1. Logo
f(x)=\int_{0}^{1} H(x-t)\,dt - H(x-1).

Passo 6

Agora interpretamos \int_{0}^{1} H(x-t)\,dt\) de forma elementar: para um \(x\) fixo, \(H(x-t)=1\) sempre que \(t<x\), e \(=0\) quando \(t>x\). Assim a integral mede a parcela do intervalo \([0,1]\) que fica abaixo de \(t=x\). Isso dá, caso a caso, \[\int_{0}^{1} H(x-t)\,dt= \begin{cases} 0,& x\le 0,\\[4pt] x,& 0<x<1,\\[4pt] 1,& x\ge 1. \end{cases}
Subtraindo H(x-1)\] (que vale \[0 se x<1 e 1 se x>1), obtemos
f(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] x, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & x>1, \end{cases}
que coincide com a definição dada para x>0\]. (A forma com \(x\le 0 é nula, consistente com a presença do degrau H(x) se quisermos estender f para toda a reta.)]

Passo 7

Podemos escrever a representação integral final de forma compacta e também apresentar uma forma sem distribuições. A forma integral (11) desejada é, portanto,
f(x)=\int_{0}^{\infty}\big(\mathbf{1}_{(0,1)}(t)-\delta(t-1)\big)\,H(x-t)\,dt,
que, ao avaliar a integral do indicador, fica
f(x)=\int_{0}^{1} H(x-t)\,dt - H(x-1).
Uma forma equivalente, mais direta e muito usada, é escrever usando degrau de Heaviside:
f(x)=x\big(H(x)-H(x-1)\big),
pois para 0<x<1 isso dá x\cdot(1-0)=x e para x>1 x\cdot(1-1)=0.

Resposta

f(x)=\int_{0}^{\infty}\big(\mathbf{1}_{(0,1)}(t)-\delta(t-1)\big)\,H(x-t)\,dt
\text{(equivalente)}\qquad f(x)=\int_{0}^{1} H(x-t)\,dt - H(x-1)
\text{(forma simplificada)}\qquad f(x)=x\big(H(x)-H(x-1)\big)

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