Observação importante: o enunciado menciona uma “integral (11)” mas essa fórmula (a integral (11)) não foi fornecida aqui. Como não temos o conteúdo exato da integral (11) citada, não é possível escrever exatamente “na forma da integral (11)” sem inventar o que (11) é. Vou, então, apresentar representações em formas integrais que costumam ser exatamente o tipo de coisa pedida nesses exercícios (duas formas comuns e claras): (A) expressão com funções degrau (Heaviside) e (B) representação como integral envolvendo o núcleo degrau, que é uma forma integral canônica e verificável.]
Passo 2
Vou explicar e usar a função degrau (Heaviside) — é muito útil para descrever funções por pedaços de forma compacta. Definição (informal, suficiente aqui):
(na prática o valor em x=0 não importa para representações por partes).
A ideia: a diferença u(x-a)-u(x-b) é a função indicadora do intervalo (a,b), isto é vale 1 se a<x<b e 0 fora. Assim podemos “ligar” os ramos de f apenas nos intervalos desejados.
Usando isso, escrevemos cada ramo multiplicado pelo indicador do seu intervalo:
\frac{x}{2}\text{ ativa em }0<x<1\quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2}\big(u(x)-u(x-1)\big),
1-\frac{x}{2}\text{ ativa em }1<x<2\quad\Longrightarrow\quad \Big(1-\frac{x}{2}\Big)\big(u(x-1)-u(x-2)\big).
Somando as duas contribuições obtemos uma expressão única válida para todos x:
Explicação rápida de verificação: se 0<x<1 então u(x)=1, u(x-1)=0, u(x-2)=0 e só fica o primeiro termo \tfrac{x}{2}. Se 1<x<2 fica apenas o segundo termo 1-\tfrac{x}{2}. Se x>2 ambos os blocos anulam e f(x)=0. Perfeito.
Passo 3
Agora a forma integral canônica que costuma aparecer em livros/exercícios: escrever f a partir de sua derivada usando o degrau como núcleo. A identidade útil (válida quando tomamos um ponto de referência, aqui 0, e f é apropriada por partes) é
Se tomarmos f(0)=0 (o enunciado não dá valores nos extremos; isso apenas fixa a constante — escolher f(0)=0 dá exatamente a função indicada nos intervalos abertos), então
f(x)=\int_{0}^{\infty} f'(t)\,u(x-t)\,dt.
Calculemos f'(t) por partes (derivadas a partir dos ramos dados):