Represente f(x) na forma da integral (11).
f(x)=\left\{\begin{array}{clr}x / 2 & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 1-x / 2 & \text { se } & 1<x<2 \\\\ 0 & \text { se } & x>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: “Represente f(x) na forma da integral (11)”. As informações fornecidas sobre f são:
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0<x<1,\\[6pt] 1-\dfrac{x}{2}, & 1<x<2,\\[6pt] 0, & x>2. \end{cases}
Observação importante: o enunciado menciona uma “integral (11)” mas essa fórmula (a integral (11)) não foi fornecida aqui. Como não temos o conteúdo exato da integral (11) citada, não é possível escrever exatamente “na forma da integral (11)” sem inventar o que (11) é. Vou, então, apresentar representações em formas integrais que costumam ser exatamente o tipo de coisa pedida nesses exercícios (duas formas comuns e claras): (A) expressão com funções degrau (Heaviside) e (B) representação como integral envolvendo o núcleo degrau, que é uma forma integral canônica e verificável.]

Passo 2

Vou explicar e usar a função degrau (Heaviside) — é muito útil para descrever funções por pedaços de forma compacta. Definição (informal, suficiente aqui):
u(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\\\ 0, & x<0, \end{cases}
(na prática o valor em x=0 não importa para representações por partes).
A ideia: a diferença u(x-a)-u(x-b) é a função indicadora do intervalo (a,b), isto é vale 1 se a<x<b e 0 fora. Assim podemos “ligar” os ramos de f apenas nos intervalos desejados.
Usando isso, escrevemos cada ramo multiplicado pelo indicador do seu intervalo:
\frac{x}{2}\text{ ativa em }0<x<1\quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2}\big(u(x)-u(x-1)\big),
1-\frac{x}{2}\text{ ativa em }1<x<2\quad\Longrightarrow\quad \Big(1-\frac{x}{2}\Big)\big(u(x-1)-u(x-2)\big).
Somando as duas contribuições obtemos uma expressão única válida para todos x:
\boxed{\,f(x)=\frac{x}{2}\big(u(x)-u(x-1)\big)+\Big(1-\frac{x}{2}\Big)\big(u(x-1)-u(x-2)\big)\,.}
Explicação rápida de verificação: se 0<x<1 então u(x)=1, u(x-1)=0, u(x-2)=0 e só fica o primeiro termo \tfrac{x}{2}. Se 1<x<2 fica apenas o segundo termo 1-\tfrac{x}{2}. Se x>2 ambos os blocos anulam e f(x)=0. Perfeito.

Passo 3

Agora a forma integral canônica que costuma aparecer em livros/exercícios: escrever f a partir de sua derivada usando o degrau como núcleo. A identidade útil (válida quando tomamos um ponto de referência, aqui 0, e f é apropriada por partes) é
\int_{0}^{\infty} f'(t)\,u(x-t)\,dt=\int_{0}^{x} f'(t)\,dt=f(x)-f(0).
Se tomarmos f(0)=0 (o enunciado não dá valores nos extremos; isso apenas fixa a constante — escolher f(0)=0 dá exatamente a função indicada nos intervalos abertos), então
f(x)=\int_{0}^{\infty} f'(t)\,u(x-t)\,dt.
Calculemos f'(t) por partes (derivadas a partir dos ramos dados):
f'(t)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}, & 0<t<1,\\[6pt] -\dfrac{1}{2}, & 1<t<2,\\[6pt] 0, & \text{fora desses intervalos.} \end{cases}
Substituindo na integral obtemos a forma integral simples e explícita:
\boxed{\,f(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u(x-t)\,dt \;-\; \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u(x-t)\,dt\, .}]

Passo 4

Verificação direta da forma integral (para você checar na prova, passo a passo):
  • Se 0<x<1: então u(x-t)=1 apenas quando t<x. A primeira integral vale \int_{0}^{x}1\,dt=x. A segunda integral é 0. Logo f(x)=\tfrac{1}{2}x.
  • Se 1<x<2: primeira integral \int_0^1 1\,dt=1. Segunda integral \int_1^x 1\,dt=x-1. Logo f(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 1 -\tfrac{1}{2}(x-1)=1-\tfrac{x}{2}.
  • Se x>2: ambas integrais cobrem seus intervalos completos e se cancelam: f(x)=\tfrac12\cdot1-\tfrac12\cdot1=0.
Esses cálculos mostram que a forma integral dá exatamente a função pedida.

Resposta

f(x)=\frac{x}{2}\big(u(x)-u(x-1)\big)+\Big(1-\frac{x}{2}\Big)\big(u(x-1)-u(x-2)\big)
f(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} u(x-t)\,dt \;-\; \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u(x-t)\,dt

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