e pede para representá‑la “na forma da integral (11)”. As informações relevantes são: \;a é um parâmetro positivo que define o intervalo (0,a).
A função vale \;x^{2} dentro do intervalo (0,a) e vale 0 fora (pelo enunciado, para x>a; presumimos f(x)=0 também para x\le 0 ou que o suporte está em [0,a]).
A pergunta é: escrever f(x) como uma integral do tipo da identidade integral que representa funções através da delta de Dirac (a tal “integral (11)”).]
Passo 2
Apresento aqui a identidade integral essencial que vou usar (é uma fórmula-padrão de representação): para qualquer função suficientemente bem comportada g,
Isto é a chamada propriedade de “sifting” (peneiração) do delta de Dirac. O que significa essa fórmula de forma intuitiva? A distribuição \delta(x-t) é concentrada em t=x, então ao integrar g(t)\delta(x-t) sobre t “pega‑se” o valor g(x). Em linguagem de prova curta: pela propriedade do delta,
Como f(t)=t^{2} apenas para 0<t<a e f(t)=0 fora desse intervalo, a integral sobre todo o eixo reduz‑se ao intervalo [0,a]. Logo
f(x)=\int_{0}^{a} t^{2}\,\delta(x-t)\,dt.
Esta é uma representação integral de f usando a delta de Dirac — é exatamente a forma tipo (11) pedida.
Passo 4
Verificação explícita da equivalência com a definição por partes (útil para entender bem): aplique a propriedade de peneiração do delta à integral obtida.
Se x está em (0,a), então o ponto t=x está dentro dos limites de integração e a integral dá
\int_{0}^{a} t^{2}\,\delta(x-t)\,dt = x^{2},
que bate com f(x)=x^{2}.
Se x>a (ou x\le 0, se assumirmos suporte em [0,a]), então o ponto t=x está fora do intervalo [0,a] e a integral vale 0, que coincide com f(x)=0.
Portanto a representação está correta ponto a ponto (exceto, tecnicamente, possivelmente em x=0 ou x=a onde a definição por partes pode dar ambiguidades de valor pontual — isso é um pormenor técnico de distribuição que não altera a validade prática da representação).
Passo 5
Como observação adicional: outra forma equivalente (mais elementar, sem delta) é escrever f com a função degrau unitário H (Heaviside):
f(x)=x^{2}\bigl(H(x)-H(x-a)\bigr).
Ambas as representações são coerentes e conectam‑se porque H'(x)=\delta(x) em sentido de distribuições.