Represente f(x) na forma da integral (11).
f(x)=\left\{\begin{array}{rrr}x^{2} & \text { se } & 0<x<a \\\\ 0 & \text { se } & x>a\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \text{se } 0<x<a,\\[4pt] 0, & \text{se } x>a, \end{cases}
e pede para representá‑la “na forma da integral (11)”. As informações relevantes são:
\;a é um parâmetro positivo que define o intervalo (0,a).
A função vale \;x^{2} dentro do intervalo (0,a) e vale 0 fora (pelo enunciado, para x>a; presumimos f(x)=0 também para x\le 0 ou que o suporte está em [0,a]).
A pergunta é: escrever f(x) como uma integral do tipo da identidade integral que representa funções através da delta de Dirac (a tal “integral (11)”).]

Passo 2

Apresento aqui a identidade integral essencial que vou usar (é uma fórmula-padrão de representação): para qualquer função suficientemente bem comportada g,
g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,\delta(x-t)\,dt.
Isto é a chamada propriedade de “sifting” (peneiração) do delta de Dirac. O que significa essa fórmula de forma intuitiva? A distribuição \delta(x-t) é concentrada em t=x, então ao integrar g(t)\delta(x-t) sobre t “pega‑se” o valor g(x). Em linguagem de prova curta: pela propriedade do delta,
\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,\delta(x-t)\,dt = g(x).
Um exemplo simples: se g(t)=t^{2}, então
\int_{-\infty}^{\infty} t^{2}\,\delta(x-t)\,dt = x^{2}.

Passo 3

Agora aplico a identidade ao nosso f. Pense em f como função de variável t e escreva
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(x-t)\,dt.
Como f(t)=t^{2} apenas para 0<t<a e f(t)=0 fora desse intervalo, a integral sobre todo o eixo reduz‑se ao intervalo [0,a]. Logo
f(x)=\int_{0}^{a} t^{2}\,\delta(x-t)\,dt.
Esta é uma representação integral de f usando a delta de Dirac — é exatamente a forma tipo (11) pedida.

Passo 4

Verificação explícita da equivalência com a definição por partes (útil para entender bem): aplique a propriedade de peneiração do delta à integral obtida.
  • Se x está em (0,a), então o ponto t=x está dentro dos limites de integração e a integral dá
\int_{0}^{a} t^{2}\,\delta(x-t)\,dt = x^{2},
que bate com f(x)=x^{2}.
  • Se x>a (ou x\le 0, se assumirmos suporte em [0,a]), então o ponto t=x está fora do intervalo [0,a] e a integral vale 0, que coincide com f(x)=0.
Portanto a representação está correta ponto a ponto (exceto, tecnicamente, possivelmente em x=0 ou x=a onde a definição por partes pode dar ambiguidades de valor pontual — isso é um pormenor técnico de distribuição que não altera a validade prática da representação).

Passo 5

Como observação adicional: outra forma equivalente (mais elementar, sem delta) é escrever f com a função degrau unitário H (Heaviside):
f(x)=x^{2}\bigl(H(x)-H(x-a)\bigr).
Ambas as representações são coerentes e conectam‑se porque H'(x)=\delta(x) em sentido de distribuições.

Resposta

f(x)=\int_{0}^{a} t^{2}\,\delta(x-t)\,dt

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