Projete um compensador avanço para um sistema de controle com realimentação unitária, cuja planta é dada por:
G(s)=\frac{1}{s(s+15)(s+20)(s+3)}
de tal forma que os requisitos de K_{v}=4 \mathrm{~s}^{-1} e \gamma_{\text {req }}=40^{\circ} sejam atingidos. Alguns valores relacionados ao diagrama de Bode de G_{1}(s)=K . G(s) foram tabelados abaixo; para as fases \left(\angle G_{1}(j \omega)\right), considere que os valores já estão tomados em relação à referência de -180^{\circ}. Some 10^{\circ} ao ângulo máximo de avanço.
\omega(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) \left|G_{1}(j \omega)\right|(\mathrm{dB}) \angle G_{1}(j \omega) (graus)
2,22 3,07 -141,25
2,83 0,00 -152,06
3,25 -1,88 -158,74
3,62 -3,43 -164,17
Solução: G_{c}(s)=7929,5 \frac{s+2,44}{s+5,37}

Passo 1

O enunciado pede um compensador avanço em malha aberta para a planta
G(s)=\frac{1}{s(s+3)(s+15)(s+20)}
com realimentação unitária, de modo a satisfazer
  1. constante de erro de velocidade \,K_v=4,s ^{-1},
  2. margem de fase \gamma_{\mathrm{req}}=40^\circ.
Vamos primeiro ajustar o ganho para cumprir K_v e depois projetar o avanço para obter a margem de fase desejada.

Passo 2

Calcular o ganho K para que
K_v=\lim_{s\to0}s\,K\,G(s) =\frac{K}{(0+3)(0+15)(0+20)} =\frac{K}{900}=4 \quad\Longrightarrow\quad K=4\cdot900=3600.
Com isso definimos
G_1(s)=3600\,G(s)
e seu diagrama de Bode tem ganho unitário ( 0,dB) em \omega_{gc}=2{,}83,rad/s (ver tabela).

Passo 3

Determinar a margem de fase atual: pela tabela, em \omega_{gc}=2{,}83,rad/s tem-se
\angle G_1(j2{,}83)=-152{,}06^\circ.
Logo a margem de fase sem compensação é
\mathrm{PM} = 180^\circ +\angle G_1(j\omega_{gc}) =180^\circ -152{,}06^\circ=27{,}94^\circ.
Como se quer \mathrm{PM}_{\rm req}=40^\circ, falta
\Delta\gamma=40^\circ-27{,}94^\circ=12{,}06^\circ.
Adotamos mais 10^\circ de folga para o avanço prático, ou seja
\phi_{\max}=\Delta\gamma+10^\circ=12{,}06^\circ+10^\circ=22{,}06^\circ.

Passo 4

Para um compensador avanço de forma
G_c(s)=K_c\;\frac{\tau s+1}{\alpha\,\tau s+1}
o máximo avanço de fase é
\phi_{\max} =\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha} =22{,}06^\circ \quad\Longrightarrow\quad \frac{1-\alpha}{1+\alpha}=\sin22{,}06^\circ\approx0{,}375
\alpha=\frac{1-\sin\phi_{\max}}{1+\sin\phi_{\max}} =\frac{1-0{,}375}{1+0{,}375}\approx0{,}454.
Define-se também \sqrt\alpha\approx0{,}674.

Passo 5

Queremos que esse avanço máximo ocorra na frequência em que a nova curva em malha aberta cruza 0,dB.
No ponto em que \phi_{\max} ocorre, \omega_m=1/(\tau\sqrt\alpha), o ganho do avanço em dB é
20\log_{10}\frac{1}{\sqrt\alpha} =-10\log_{10}\alpha\approx3{,}42\rm\,dB.
Procuramos no diagrama de Bode de G_1 uma frequência em que |G_1(j\omega)|\approx -3{,}42,dB; da tabela, em \omega=3{,}62,rad/s tem-se |G_1|=-3{,}43,dB, praticamente igual a -3{,}42,dB.
Portanto escolhemos
\omega_m=3{,}62\rm\\ rad/s
como nova frequência de cruzamento.

Passo 6

Encontrar \tau, zero e polo do compensador:
\tau=\frac{1}{\omega_m\sqrt\alpha} =\frac{1}{3{,}62\cdot0{,}674}\approx0{,}410,
\text{zero em }s=-\frac{1}{\tau}\approx-2{,}44, \quad \text{polo em }s=-\frac{1}{\alpha\,\tau} =\,-\frac{1}{0{,}454\cdot0{,}410}\approx-5{,}37.

Passo 7

Finalmente ajustamos o ganho estático K_c do avanço de modo a não alterar K_v.
No regime permanente s\to0, o avanço tem ganho
\tau/( \alpha\tau)=1/\alpha\approx2{,}201.
Como antes tínhamos K=3600, o novo ganho total será 3600\cdot K_c.
Para manter K_v=4 precisamos
3600\cdot K_c\cdot\frac{1}{\alpha\;}\;\bigg/\;900 =4 \quad\Longrightarrow\quad K_c=\frac{1}{1/\alpha}=\,\alpha=0{,}454^{-1}\approx2{,}201.
Logo o valor numérico global é
3600\cdot2{,}201\approx7929{,}5.

Resposta

G_{c}(s) =7929,5\;\frac{s+2,44}{s+5,37}.

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