Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
f(x)=e^{-\mid x}

Passo 1

O enunciado pede: representar a função f(x)=e^{-|x|} por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=e^{-|x|} para todo x\in\mathbb{R}.
  • Não foi dada mais nenhuma restrição; a função é contínua e decai exponencialmente quando |x|\to\infty.

Passo 2

Observação útil sobre a função (sem resolver ainda): verificar simetria. Uma função é par se f(-x)=f(x) para todo x. Aqui:
f(-x)=e^{-| -x|}=e^{-|x|}=f(x).
Portanto f é par. Isso é importante porque funções pares costumam ter representações por transformada cosseno (ou integral envolvendo \cos), enquanto funções ímpares se relacionam com \sin. Então, para representar f por uma integral, o co-seno é o candidato natural.

Passo 3

Apresentação da ideia de transformada cosseno (a fórmula que vamos usar) e por que ela vale: para uma função par f suficientemente bem comportada, define-se a transformada cosseno
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(t)\cos(\omega t)\,dt.
A inversão (fórmula que reconstrói f a partir de F_c) é
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F_c(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega,
desde que as hipóteses de integrabilidade sejam satisfeitas (caso clássico em análise de Fourier). É isso que vamos aplicar: calcular F_c(\omega) para f(t)=e^{-t} em t\ge0 e depois usar a inversão.

Passo 4

Calcular a transformada cosseno F_c(\omega). Como f é par, basta trabalhar em t\ge0:
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(\omega t)\,dt.
Para avaliar essa integral usamos a fórmula padrão (que vou derivar rapidamente): para a>0 e b\in\mathbb{R},
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(b t)\,dt=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.
Derivação curta dessa fórmula: considere a integral complexa
\int_{0}^{\infty} e^{-(a-i b)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(a-i b)t}}{-(a-i b)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{a-i b},
já que a>0 garante convergência. Tomando a parte real de ambos os lados (a parte real do integrando é e^{-a t}\cos(bt)) obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\cos(b t)\,dt=\Re\!\left(\frac{1}{a-i b}\right)=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}.
No nosso caso, a=1 e b=\omega. Assim
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos(\omega t)\,dt=\frac{1}{1+\omega^{2}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de inversão da transformada cosseno. Substituindo F_c(\omega)=\dfrac{1}{1+\omega^{2}} na expressão de inversão:
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} F_c(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\omega x)}{1+\omega^{2}}\,d\omega.
Esta é a representação desejada por uma integral envolvendo o co-seno.

Passo 6

Cheque rápido de sanidade (para nos tranquilizar): em x=0 a representação dá
\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^{2}}\,d\omega=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=1,
que coincide com f(0)=e^{-|0|}=1. Bom sinal.

Resposta

e^{-|x|}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(\omega x)}{1+\omega^{2}}\,d\omega

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