Represente a função indicada por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
Passo 1
O enunciado pede: representar a função
por uma integral apropriada do co-seno ou do seno.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A função é
para todo . - Não foi dada mais nenhuma restrição; a função é contínua e decai exponencialmente quando
.
Passo 2
Observação útil sobre a função (sem resolver ainda): verificar simetria. Uma função é par se
para todo
. Aqui:
Portanto
é par. Isso é importante porque funções pares costumam ter representações por transformada cosseno (ou integral envolvendo
), enquanto funções ímpares se relacionam com
. Então, para representar
por uma integral, o co-seno é o candidato natural.
Passo 3
Apresentação da ideia de transformada cosseno (a fórmula que vamos usar) e por que ela vale: para uma função par
suficientemente bem comportada, define-se a transformada cosseno
A inversão (fórmula que reconstrói
a partir de
) é
desde que as hipóteses de integrabilidade sejam satisfeitas (caso clássico em análise de Fourier). É isso que vamos aplicar: calcular
para
em
e depois usar a inversão.
Passo 4
Calcular a transformada cosseno
. Como
é par, basta trabalhar em
:
Para avaliar essa integral usamos a fórmula padrão (que vou derivar rapidamente): para
e
,
Derivação curta dessa fórmula: considere a integral complexa
já que
garante convergência. Tomando a parte real de ambos os lados (a parte real do integrando é
) obtemos
No nosso caso,
e
. Assim
Passo 5
Aplicar a fórmula de inversão da transformada cosseno. Substituindo
na expressão de inversão:
Esta é a representação desejada por uma integral envolvendo o co-seno.
Passo 6
Cheque rápido de sanidade (para nos tranquilizar): em
a representação dá
que coincide com
. Bom sinal.