Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente no plano de Argand–Gauss (plano complexo) o conjunto
Informações dadas:
- A variável complexa
aparece apenas dentro da expressão . - É preciso descrever a região no plano (e não, por exemplo, resolver uma equação numérica).
- A desigualdade é estrita (sinal
), portanto a fronteira não faz parte do conjunto.
Passo 2
Passo técnico inicial: escrever
em coordenadas reais. Seja
onde
é a coordenada horizontal e
é a coordenada vertical no plano. Substituindo obtemos a condição equivalente
Assim o problema virou: desenhar no plano
o conjunto de pontos que satisfazem
.
Passo 3
Entender
por quadrantes é uma maneira simples e segura de visualizar (isso é útil em prova também):
- No primeiro quadrante (
) a condição vira . A fronteira nessa região é a reta (segmento entre e ), e aceitáveis estão abaixo dessa reta dentro do primeiro quadrante. - No segundo quadrante (
) a condição vira , que é a mesma reta quando escrita como no trecho entre e . - No terceiro quadrante (
) a condição vira , com fronteira o segmento entre e . - No quarto quadrante (
) a condição vira , com fronteira o segmento entre e .
Juntando esses quatro pedaços vemos que a fronteira da região (caso de igualdade
) é formada por quatro segmentos de reta que se unem nos pontos
.
Passo 4
Concluir a forma geométrica: a curva
é um losango (um quadrado girado 45°) com vértices em
. Como a desigualdade é estrita
, o conjunto pedido é o interior desse losango (ou seja, o losango sem sua fronteira).
Dica prática para a prova: desenhe os eixos, marque os pontos
e
e una por segmentos; repita para os outros vértices; a região válida é a zona central fechada por esses segmentos, mas lembre-se do sinal estrito — desenhe a fronteira tracejada se quiser indicar que ela não pertence ao conjunto.
Passo 5
Algumas propriedades úteis (para complementar o entendimento e que podem ser pedidas em exercícios):
- O conjunto é convexo e limitado (bounded).
- A fronteira é a curva
. - Área do losango: como as diagonais têm comprimentos
(no eixo ) e (no eixo ), a área é
- Alternativa de descrição algébrica útil: o conjunto pode ser escrito como
Passo 6
Resumo visual que você pode desenhar rápido na prova:
- Marcar
. - Ligar esses pontos por segmentos formando um losango.
- Colorear o interior (sem incluir a fronteira) — esse é o conjunto pedido.
Resposta
O conjunto é o interior do losango de vértices
; equivalentemente
.