Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|<1}

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente no plano de Argand–Gauss (plano complexo) o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C} : |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|<1\,\}.
Informações dadas:
  • A variável complexa z aparece apenas dentro da expressão |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|<1.
  • É preciso descrever a região no plano (e não, por exemplo, resolver uma equação numérica).
  • A desigualdade é estrita (sinal <), portanto a fronteira não faz parte do conjunto.

Passo 2

Passo técnico inicial: escrever z em coordenadas reais. Seja
z = x + i y,
onde x=\operatorname{Re}(z) é a coordenada horizontal e y=\operatorname{Im}(z) é a coordenada vertical no plano. Substituindo obtemos a condição equivalente
|x| + |y| < 1.
Assim o problema virou: desenhar no plano (x,y) o conjunto de pontos que satisfazem |x|+|y|<1.

Passo 3

Entender |x|+|y|<1 por quadrantes é uma maneira simples e segura de visualizar (isso é útil em prova também):
  • No primeiro quadrante ( x\ge 0,\\ y\ge 0) a condição vira x+y<1. A fronteira nessa região é a reta x+y=1 (segmento entre (1,0) e (0,1)), e aceitáveis estão abaixo dessa reta dentro do primeiro quadrante.
  • No segundo quadrante ( x\le 0,\\ y\ge 0) a condição vira -x+y<1, que é a mesma reta quando escrita como y=1+x no trecho entre (-1,0) e (0,1).
  • No terceiro quadrante ( x\le 0,\\ y\le 0) a condição vira -x - y < 1, com fronteira o segmento entre (-1,0) e (0,-1).
  • No quarto quadrante ( x\ge 0,\\ y\le 0) a condição vira x - y < 1, com fronteira o segmento entre (1,0) e (0,-1).
Juntando esses quatro pedaços vemos que a fronteira da região (caso de igualdade |x|+|y|=1) é formada por quatro segmentos de reta que se unem nos pontos (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1).

Passo 4

Concluir a forma geométrica: a curva |x|+|y|=1 é um losango (um quadrado girado 45°) com vértices em (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1). Como a desigualdade é estrita |x|+|y|<1, o conjunto pedido é o interior desse losango (ou seja, o losango sem sua fronteira).
Dica prática para a prova: desenhe os eixos, marque os pontos (1,0) e (0,1) e una por segmentos; repita para os outros vértices; a região válida é a zona central fechada por esses segmentos, mas lembre-se do sinal estrito — desenhe a fronteira tracejada se quiser indicar que ela não pertence ao conjunto.

Passo 5

Algumas propriedades úteis (para complementar o entendimento e que podem ser pedidas em exercícios):
  • O conjunto é convexo e limitado (bounded).
  • A fronteira é a curva |x|+|y|=1.
  • Área do losango: como as diagonais têm comprimentos 2 (no eixo x) e 2 (no eixo y), a área é
\frac{(2)\cdot(2)}{2}=2.
  • Alternativa de descrição algébrica útil: o conjunto pode ser escrito como
\{x+iy\in\mathbb{C} : |x|+|y|<1\}.

Passo 6

Resumo visual que você pode desenhar rápido na prova:
  • Marcar (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1).
  • Ligar esses pontos por segmentos formando um losango.
  • Colorear o interior (sem incluir a fronteira) — esse é o conjunto pedido.

Resposta

O conjunto é o interior do losango de vértices (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1); equivalentemente \{x+iy\in\mathbb{C} : |x|+|y|<1\}.

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