Verifique as seguintes propriedades envolvendo módulo e conjugado de um número complexo: \left(z, w, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{N}\right) \overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}}
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: provar a igualdade \overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{z_{1}}\cdot\overline{z_{2}} para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}. Não há outros dados numéricos — a prova deve valer para todo par de complexos.
Passo 2
Definição de conjugado (a peça teórica básica que vamos usar): se z\in\mathbb{C} e escrevemos z=a+bi com a,b\in\mathbb{R} e i^{2}=-1, então o conjugado de z é
\overline{z}=a-bi.
Ou seja, o conjugado mantém a parte real e troca o sinal da parte imaginária. Isso vale para qualquer a,b reais.
Passo 3
Representação dos dois números complexos em coordenadas reais: escrevemos
z_{1}=a+bi,\qquad z_{2}=c+di,
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}. Isso é sempre possível porque qualquer número complexo tem parte real e parte imaginária reais.
Passo 4
Calcular o produto z_{1}\cdot z_{2} usando distributividade e i^{2}=-1. Fazendo a multiplicação termo a termo:
z_{1}z_{2}=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2}.
Substituindo i^{2}=-1 obtemos
z_{1}z_{2}=(ac-bd)+i(ad+bc).
Aqui ac-bd é a parte real e ad+bc é a parte imaginária do produto.
Passo 5
Tomar o conjugado do produto: pelo que dissemos no Passo 2 o conjugado troca o sinal da parte imaginária, logo
\overline{z_{1}z_{2}}=(ac-bd)-i(ad+bc).
Passo 6
Calcular o produto dos conjugados separadamente. Primeiro os conjugados individuais: