Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
{z \in \mathbb{C} ;|\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|=1}

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente no plano de Argand-Gauss o conjunto
\{\, z\in\mathbb{C} \;:\; |\operatorname{Re}(z)|+|\operatorname{Im}(z)|=1 \,\}.
Informações dadas:
  • z é um número complexo qualquer.
  • A condição é uma equação envolvendo a parte real e a parte imaginária de z: a soma dos módulos de \operatorname{Re}(z) e \operatorname{Im}(z) é igual a 1.

Passo 2

Vamos escrever z em coordenadas reais: seja
z = x + i y,
onde x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z), com x,y\in\mathbb{R}. Substituindo na condição do enunciado obtemos a equação no plano (x,y):
|x| + |y| = 1.
Portanto o problema se reduz a representar geometricamente no plano cartesiano o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem |x|+|y|=1.

Passo 3

Explicar o comportamento dos valores absolutos: para x\in\mathbb{R}\), \[|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0, \end{cases}
e análogo para y\]. A equação \(|x|+|y|=1 é, portanto, uma equação linear diferente em cada quadrante do plano. Vamos separar em quatro casos (cada caso corresponde a um quadrante ou aos eixos):]

Passo 4

Caso 1: x\ge 0 e y\ge 0 (primeiro quadrante).
Neste caso |x|=x e |y|=y, então
x + y = 1,\qquad x\ge 0,\; y\ge 0.
Essa é a reta com equação x+y=1 limitada ao segmento entre os pontos onde ela cruza os eixos.
Caso 2: x\le 0 e y\ge 0 (segundo quadrante).
Aqui |x|=-x e |y|=y, então
-x + y = 1,\qquad x\le 0,\; y\ge 0.
Ou equivalentemente y = 1 + x com x\in[-1,0].
Caso 3: x\le 0 e y\le 0 (terceiro quadrante).
Aqui |x|=-x e |y|=-y, então
-x - y = 1,\qquad x\le 0,\; y\le 0,
ou seja x + y = -1 no domínio desses sinais.
Caso 4: x\ge 0 e y\le 0 (quarto quadrante).
Aqui |x|=x e |y|=-y, portanto
x - y = 1,\qquad x\ge 0,\; y\le 0,
ou seja y = x-1 com x\in[0,1].

Passo 5

Determinar os extremos (vértices) de cada segmento encontrando interseções com os eixos:
  • No primeiro quadrante, x+y=1 com x,y\ge0 cruza os eixos em (1,0) e (0,1).
  • No segundo quadrante, -x+y=1 cruza em (0,1) e (-1,0).
  • No terceiro quadrante, -x-y=1 cruza em (-1,0) e (0,-1).
  • No quarto quadrante, x-y=1 cruza em (0,-1) e (1,0).
Portanto os quatro segmentos obtidos unem, em ordem, os pontos
(1,0)\longleftrightarrow(0,1)\longleftrightarrow(-1,0)\longleftrightarrow(0,-1)\longleftrightarrow(1,0).

Passo 6

Interpretação geométrica final e propriedades úteis (para você lembrar na prova):
  • O conjunto é a fronteira do disco unitário na norma \ell_1 em \mathbb{R}^2; geometricamente é um losango (um quadrado rotacionado de 45^\circ) centrado na origem.
  • Os vértices são \,(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1).
  • Cada lado é um segmento de reta com inclinação -1 ou 1; por exemplo, o lado no primeiro quadrante tem equação x+y=1 (inclinação -1).
  • Exemplo de verificação rápida: para z=\tfrac{1}{2}+i\tfrac{1}{2} (ou seja (x,y)=(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})) tem-se |x|+|y|=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1, então esse ponto pertence ao conjunto.

Resposta

O conjunto é um losango (quadrado rotacionado) centrado na origem com vértices em (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1).

Exercícios relacionados