Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss (plano complexo) os seguintes conjuntos de números complexos:
Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente no plano de Argand-Gauss o conjunto
Informações dadas:
-
é um número complexo qualquer. - A condição é uma equação envolvendo a parte real e a parte imaginária de
: a soma dos módulos de e é igual a .
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas reais: seja
onde
e
, com
. Substituindo na condição do enunciado obtemos a equação no plano
:
Portanto o problema se reduz a representar geometricamente no plano cartesiano o conjunto de pontos
que satisfazem
.
Passo 3
Explicar o comportamento dos valores absolutos: para
e análogo para
é, portanto, uma equação linear diferente em cada quadrante do plano. Vamos separar em quatro casos (cada caso corresponde a um quadrante ou aos eixos):]
Passo 4
Caso 1:
e
(primeiro quadrante).
Neste caso e
, então
Neste caso
Essa é a reta com equação
limitada ao segmento entre os pontos onde ela cruza os eixos.
Caso 2:
e
(segundo quadrante).
Aqui e
, então
Aqui
Ou equivalentemente
com
.
Caso 3:
e
(terceiro quadrante).
Aqui e
, então
Aqui
ou seja
no domínio desses sinais.
Caso 4:
e
(quarto quadrante).
Aqui e
, portanto
Aqui
ou seja
com
.
Passo 5
Determinar os extremos (vértices) de cada segmento encontrando interseções com os eixos:
- No primeiro quadrante,
com cruza os eixos em e . - No segundo quadrante,
cruza em e . - No terceiro quadrante,
cruza em e . - No quarto quadrante,
cruza em e .
Portanto os quatro segmentos obtidos unem, em ordem, os pontos
Passo 6
Interpretação geométrica final e propriedades úteis (para você lembrar na prova):
- O conjunto é a fronteira do disco unitário na norma
em ; geometricamente é um losango (um quadrado rotacionado de ) centrado na origem. - Os vértices são
. - Cada lado é um segmento de reta com inclinação
ou ; por exemplo, o lado no primeiro quadrante tem equação (inclinação ). - Exemplo de verificação rápida: para
(ou seja ) tem-se , então esse ponto pertence ao conjunto.
Resposta
O conjunto é um losango (quadrado rotacionado) centrado na origem com vértices em
,
,
e
.