Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano complexo o conjunto
e depois classificar esse conjunto em aberto, fechado e limitado. Vamos usar coordenadas polares
para entender a forma da região e em seguida discutir inclusão das fronteiras e extensão em raio.
Passo 2
Em coordenadas polares qualquer ponto
tem forma
A condição
vira
Logo é um setor de raio
arbitrariamente grande, com ângulo entre
e
.
Passo 3
As fronteiras do setor são os raios dados por
e por
. Pela condição:
- o semi-eixo real positivo
está incluído no conjunto (exceto o ponto , porque ). - o raio de ângulo
está excluído (é desigualdade estrita). - o ponto
também está excluído.
Passo 4
Graficamente, no plano
:
- Desenhe o eixo real positivo
com linha sólida, marcando que ele faz parte do conjunto, mas sem marcar o ponto na origem. - Desenhe o raio que faz ângulo
com o eixo usando linha tracejada, indicando que esses pontos não pertencem. - Sombreie a região entre esses dois raios, com
.
Isso mostra um setor angular de abertura
, contendo a borda inferior, sem conter a borda superior nem o centro.
Passo 5
Agora a classificação:
- Aberto? Não, porque a fronteira em
está incluída, então não é um vizinhança aberta em torno desses pontos. - Fechado? Não, pois a fronteira em
está excluída. - Limitado? Não, pois
pode crescer sem limite.
Resposta
O conjunto não é aberto, não é fechado e não é limitado.