Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
z \neq 0, \quad 0 \leq \arg (z)<\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para representar no plano complexo o conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}:z\neq0,\;0\le\arg(z)<\tfrac{\pi}{3}\}
e depois classificar esse conjunto em aberto, fechado e limitado. Vamos usar coordenadas polares z=re^{i\theta} para entender a forma da região e em seguida discutir inclusão das fronteiras e extensão em raio.

Passo 2

Em coordenadas polares qualquer ponto z\neq0 tem forma
z = r e^{i\theta},\quad r>0,\;\theta=\arg(z).
A condição 0\le\arg(z)<\tfrac{\pi}{3} vira
r>0,\quad 0\le\theta<\tfrac{\pi}{3}.
Logo é um setor de raio r arbitrariamente grande, com ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

As fronteiras do setor são os raios dados por \theta=0 e por \theta=\tfrac{\pi}{3}. Pela condição:
  • o semi-eixo real positivo \theta=0 está incluído no conjunto (exceto o ponto r=0, porque z\neq0).
  • o raio de ângulo \tfrac{\pi}{3} \theta=\tfrac{\pi}{3} está excluído (é desigualdade estrita).
  • o ponto z=0 também está excluído.

Passo 4

Graficamente, no plano x+iy:
  1. Desenhe o eixo real positivo x>0,y=0 com linha sólida, marcando que ele faz parte do conjunto, mas sem marcar o ponto na origem.
  2. Desenhe o raio que faz ângulo \tfrac{\pi}{3} com o eixo x usando linha tracejada, indicando que esses pontos não pertencem.
  3. Sombreie a região entre esses dois raios, com r>0.
Isso mostra um setor angular de abertura \tfrac{\pi}{3}, contendo a borda inferior, sem conter a borda superior nem o centro.

Passo 5

Agora a classificação:
  • Aberto? Não, porque a fronteira em \theta=0 está incluída, então não é um vizinhança aberta em torno desses pontos.
  • Fechado? Não, pois a fronteira em \theta=\tfrac{\pi}{3} está excluída.
  • Limitado? Não, pois r pode crescer sem limite.

Resposta

O conjunto não é aberto, não é fechado e não é limitado.

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