Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
|z-1+i|<3

Passo 1

O enunciado pede a representação no plano complexo e a classificação do conjunto
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z - 1 + i| < 3\}
em aberto, fechado e limitado. Vamos usar geometria analítica no plano (\Re z,\Im z).

Passo 2

Note que
|z - 1 + i| < 3
é a mesma condição que
|z - (1 - i)| < 3,
ou seja, todos os pontos cuja distância ao ponto 1 - i é menor que 3.

Passo 3

Geometricamente isso define um disco de raio 3 e centro em
(1,\,-1)
no plano (x,y)\equiv(\Re z,\Im z).

Passo 4

Para desenhar, trace:
– O eixo horizontal como \Re z e o vertical como \Im z.
– O ponto central em (1,-1).
– Uma circunferência de raio 3 em torno de (1,-1), desenhada como linha tracejada (já que a fronteira não pertence ao conjunto).
– Sombreie a região interior a essa circunferência.

Passo 5

Classificação:
– É um conjunto aberto porque a desigualdade é estrita \,<3, logo não inclui a fronteira.
– Não é fechado, pois não contém os pontos com |z-(1-i)|=3.
– É limitado, pois está contido num disco de raio 3.

Resposta

O conjunto é o disco aberto de raio 3 e centro em (1,-1).
Ele é aberto e limitado (não é fechado).

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