Represente graficamente a curva dada em coordenadas polares por
r=2+2 \cos (\theta)

Passo 1

O que o enunciado pede: representar graficamente a curva dada em coordenadas polares pela equação \displaystyle r=2+2\cos(\theta).
Informações fornecidas pelo enunciado: a relação entre o raio polar r e o ângulo \theta é \displaystyle r=2+2\cos(\theta).
Observação final deste passo: devemos produzir um esboço (plot) da curva, entender suas características principais (pontos notáveis, simetrias, forma geral) e indicar como traçá-la à mão em uma folha ou em um papel polar.

Passo 2

Breve revisão de como trabalhar com equações polares (aula rapidinha, sem pânico).
  • Em coordenadas polares temos um ponto dado por (r,\theta), onde r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
  • Para transformar para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta).
  • Estratégia prática para desenhar curvas polares: calcular r para vários ângulos \theta (por exemplo, em passos como 0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2,\dots), marcar cada ponto na grade polar e ligar suavemente. Também usar simetrias e identidades trigonométricas para entender forma e extremos.

Passo 3

Usar uma identidade trigonométrica útil para simplificar a equação. A identidade é
1+\cos(\theta)=2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Aplicando-a em \displaystyle r=2+2\cos(\theta) obtemos
r=2\bigl(1+\cos(\theta)\bigr)=2\cdot 2\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=4\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Comentário didático: essa forma \displaystyle r=4\cos^{2}\!\left(\frac{\theta}{2}\right) mostra duas coisas imediatamente: r\ge 0 para todo \theta (porque quadrado é não negativo) e que r zera quando \cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=0, isto é quando \frac{\theta}{2}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \theta=\pi+2k\pi.

Passo 4

Determinar simetrias da curva (super útil para desenhar menos pontos).
  • Note que \cos(\theta) é função par: \cos(-\theta)=\cos(\theta). Da equação \displaystyle r=2+2\cos(\theta) segue que r(-\theta)=r(\theta). Isso significa simetria em torno do eixo x (eixo polar \theta=0).
  • Não existe simetria simples em torno do eixo y (a menos que se faça mudança de \theta\to\pi-\theta, mas a simetria principal que usamos é em relação ao eixo x).

Passo 5

Encontrar extremos e pontos especiais analiticamente (para saber onde colocar pontos no esboço).
  • Máximo de r: r é máximo quando \cos(\theta)=1, isto é \theta=0. Então
r_{\max}=2+2\cdot 1=4.
O ponto correspondente em cartesiano é
x=4\cos(0)=4,\qquad y=4\sin(0)=0,
ou seja o ponto (4,0) é o extremo direito (ponto mais distante da origem).
  • Mínimo de r: pela forma com quadrado, r=0 quando \cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)=0. No intervalo principal [0,2\pi) isso ocorre em \theta=\pi. Logo em \theta=\pi temos r=0, isto é a curva passa pela origem — há uma cúspide (um “bico”) na origem.
  • Pontos onde \cos(\theta)=0 (isto é \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}) dão r=2. Então:
\theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,2),\qquad \theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow (x,y)=(0,-2).

Passo 6

Fazer uma tabela de valores-chave \theta\mapsto r e, quando útil, converter para (x,y). Vou mostrar os cálculos detalhadinhos para que você saiba replicar na prova. Usei trigonometria básica e aritmética simples sem calculadora aproximada (quando necessário, dei aproximações razoáveis).
Calculamos r=2+2\cos(\theta) para ângulos úteis:
\begin{array}{lcl} \theta=0 &:& \cos(0)=1\Rightarrow r=4.\\[4pt] \theta=\tfrac{\pi}{6} &:& \cos(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow r=2+2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\approx 3{,}732.\\[4pt] \theta=\tfrac{\pi}{4} &:& \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=2+2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}\approx 3{,}414.\\[4pt] \theta=\tfrac{\pi}{3} &:& \cos(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2}\Rightarrow r=2+2\cdot\tfrac{1}{2}=3.\\[4pt] \theta=\tfrac{\pi}{2} &:& \cos(\tfrac{\pi}{2})=0\Rightarrow r=2\quad\text{(ponto }(0,2)).\\[4pt] \theta=\tfrac{2\pi}{3} &:& \cos(\tfrac{2\pi}{3})=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow r=2+2\cdot(-\tfrac{1}{2})=1.\\[4pt] \theta=\tfrac{3\pi}{4} &:& \cos(\tfrac{3\pi}{4})=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow r=2- \sqrt{2}\approx 0{,}586.\\[4pt] \theta=\tfrac{5\pi}{6} &:& \cos(\tfrac{5\pi}{6})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow r=2-\sqrt{3}\approx 0{,}268.\\[4pt] \theta=\pi &:& \cos(\pi)=-1\Rightarrow r=0\quad\text{(origem, cúspide).}\\[4pt] \theta=\tfrac{3\pi}{2} &:& r=2\quad\text{(ponto }(0,-2)).\\[4pt] \theta=2\pi &:& r=4\quad\text{(volta ao }(4,0)).\\\ \end{array}ú
Comentário prático: esses pontos já dão o “esqueleto” do desenho: do (4,0) seguindo ângulos crescentes até \pi o raio decresce até 0; depois de \pi até 2\pi o raio cresce de volta a 4.]

Passo 7

Converter a parametrização polar em parametrização cartesiana (útil para entender curva e estudar comportamento local). Usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta com r=2+2\cos\theta temos
x(\theta)=(2+2\cos\theta)\cos\theta,\qquad y(\theta)=(2+2\cos\theta)\sin\theta.
Se quiser simplificar x(\theta) usando identidades:
x(\theta)=2\cos\theta+2\cos^{2}\theta=2\cos\theta+2\cdot\frac{1+\cos(2\theta)}{2}=1+2\cos\theta+\cos(2\theta).
Isso não é necessário para desenhar, mas mostra que a curva tem expressão em funções trigonométricas simples. Para estudar o comportamento perto da cúspide ( \theta\approx\pi) faça uma expansão em série curta: com \theta=\pi+\varepsilon pequeno, \cos(\theta)\approx -1+\tfrac{\varepsilon^{2}}{2} e então r\approx \varepsilon^{2}. Assim as coordenadas aproximam-se por
x\approx -\varepsilon^{2},\qquad y\approx -\varepsilon^{3},
o que implica que a curva chega à origem com tangente horizontal (o quociente y/x\to 0 quando \varepsilon\to 0). Conclusão: a cúspide tem direção tangente ao eixo x (horizontal) no ponto r=0.

Passo 8

Identificação da curva e desenho mental: a equação \displaystyle r=2+2\cos(\theta) é da família \displaystyle r=a(1+\cos\theta) com a=2. Essa família é conhecida por gerar um cardioide (um “coração” sem ser romântico demais). Características específicas aqui:
  • É um cardioide com cúspide na origem ( r=0 em \theta=\pi).
  • Simetria em relação ao eixo x (eixo polar).
  • Ponto mais à direita em (4,0) (quando \theta=0).
  • Interseção com eixo y em (0,2) e (0,-2).
    Desenhe portanto uma forma arredondada à direita ligando suavemente os pontos calculados, com um bico (cúspide) na origem apontando para a esquerda (e tangente horizontal lá).

Passo 9

Instruções práticas para desenhar à mão (passo a passo para a sua prova):
  1. Desenhe uma grade polar (círculos com raios 1,2,3,4 e raios polares para ângulos importantes: 0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\dots).
  2. Marque o ponto (4,0) no eixo x positivo (é o ponto mais à direita).
  3. Marque (0,2) e (0,-2) nos eixos y.
  4. Marque os outros pontos da tabela do Passo 6 (por exemplo para \theta=\tfrac{\pi}{3} marcar r=3, para \tfrac{2\pi}{3} marcar r=1 etc.).
  5. Una os pontos suavemente respeitando a simetria em torno do eixo x. Ao chegar perto de \theta=\pi você verá os raios tendendo a zero; junte as duas partes no ponto origem formando a cúspide com tangente quase horizontal.
  6. Verifique a continuidade: a curva é contínua e suave exceto na cúspide onde a derivada angular muda, típica de um cardioide.
    Se quiser um check rápido em calculadora/gráfico: plote r=2+2\cos(\theta) para \theta\in[0,2\pi] e confirme que o esboço bate com o desenho.

Resposta

Gráfico: cardioide dada por \displaystyle r=2+2\cos(\theta), com cúspide na origem ( \theta=\pi,\;r=0), ponto mais à direita em (4,0) ( \theta=0), interseções com o eixo y em (0,2) e (0,-2), e simetria em relação ao eixo x.

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