Represente graficamente a curva dada em coordenadas polares por
Passo 1
O que o enunciado pede: representar graficamente a curva dada em coordenadas polares pela equação
.
Informações fornecidas pelo enunciado: a relação entre o raio polar e o ângulo
é
.
Observação final deste passo: devemos produzir um esboço (plot) da curva, entender suas características principais (pontos notáveis, simetrias, forma geral) e indicar como traçá-la à mão em uma folha ou em um papel polar.
Informações fornecidas pelo enunciado: a relação entre o raio polar
Observação final deste passo: devemos produzir um esboço (plot) da curva, entender suas características principais (pontos notáveis, simetrias, forma geral) e indicar como traçá-la à mão em uma folha ou em um papel polar.
Passo 2
Breve revisão de como trabalhar com equações polares (aula rapidinha, sem pânico).
- Em coordenadas polares temos um ponto dado por
, onde é a distância do ponto à origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo . - Para transformar para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
- Estratégia prática para desenhar curvas polares: calcular
para vários ângulos (por exemplo, em passos como ), marcar cada ponto na grade polar e ligar suavemente. Também usar simetrias e identidades trigonométricas para entender forma e extremos.
Passo 3
Usar uma identidade trigonométrica útil para simplificar a equação. A identidade é
Aplicando-a em
obtemos
Comentário didático: essa forma
mostra duas coisas imediatamente:
para todo
(porque quadrado é não negativo) e que
zera quando
, isto é quando
⇒
.
Passo 4
Determinar simetrias da curva (super útil para desenhar menos pontos).
- Note que
é função par: . Da equação segue que . Isso significa simetria em torno do eixo (eixo polar ). - Não existe simetria simples em torno do eixo
(a menos que se faça mudança de , mas a simetria principal que usamos é em relação ao eixo ).
Passo 5
Encontrar extremos e pontos especiais analiticamente (para saber onde colocar pontos no esboço).
- Máximo de
: é máximo quando , isto é . Então
O ponto correspondente em cartesiano é
ou seja o ponto
é o extremo direito (ponto mais distante da origem).
- Mínimo de
: pela forma com quadrado, quando . No intervalo principal isso ocorre em . Logo em temos , isto é a curva passa pela origem — há uma cúspide (um “bico”) na origem. - Pontos onde
(isto é ) dão . Então:
Passo 6
Fazer uma tabela de valores-chave
e, quando útil, converter para
. Vou mostrar os cálculos detalhadinhos para que você saiba replicar na prova. Usei trigonometria básica e aritmética simples sem calculadora aproximada (quando necessário, dei aproximações razoáveis).
Calculamos para ângulos úteis:
Calculamos
Comentário prático: esses pontos já dão o “esqueleto” do desenho: do
seguindo ângulos crescentes até
o raio decresce até 0; depois de
até
o raio cresce de volta a 4.]
Passo 7
Converter a parametrização polar em parametrização cartesiana (útil para entender curva e estudar comportamento local). Usando
e
com
temos
Se quiser simplificar
usando identidades:
Isso não é necessário para desenhar, mas mostra que a curva tem expressão em funções trigonométricas simples. Para estudar o comportamento perto da cúspide (
) faça uma expansão em série curta: com
pequeno,
e então
. Assim as coordenadas aproximam-se por
o que implica que a curva chega à origem com tangente horizontal (o quociente
quando
). Conclusão: a cúspide tem direção tangente ao eixo
(horizontal) no ponto
.
Passo 8
Identificação da curva e desenho mental: a equação
é da família
com
. Essa família é conhecida por gerar um cardioide (um “coração” sem ser romântico demais). Características específicas aqui:
- É um cardioide com cúspide na origem (
em ). - Simetria em relação ao eixo
(eixo polar). - Ponto mais à direita em
(quando ). - Interseção com eixo
em e .
Desenhe portanto uma forma arredondada à direita ligando suavemente os pontos calculados, com um bico (cúspide) na origem apontando para a esquerda (e tangente horizontal lá).
Passo 9
Instruções práticas para desenhar à mão (passo a passo para a sua prova):
- Desenhe uma grade polar (círculos com raios 1,2,3,4 e raios polares para ângulos importantes:
). - Marque o ponto
no eixo positivo (é o ponto mais à direita). - Marque
e nos eixos . - Marque os outros pontos da tabela do Passo 6 (por exemplo para
marcar , para marcar etc.). - Una os pontos suavemente respeitando a simetria em torno do eixo
. Ao chegar perto de você verá os raios tendendo a zero; junte as duas partes no ponto origem formando a cúspide com tangente quase horizontal. - Verifique a continuidade: a curva é contínua e suave exceto na cúspide onde a derivada angular muda, típica de um cardioide.
Se quiser um check rápido em calculadora/gráfico: plotepara e confirme que o esboço bate com o desenho.
Resposta
Gráfico: cardioide dada por
, com cúspide na origem (
), ponto mais à direita em
(
), interseções com o eixo
em
e
, e simetria em relação ao eixo
.