Represente graficamente a curva dada em coordenadas polares por
r=6 \cos (\theta)

Passo 1

O que o enunciado pede: representar graficamente a curva dada em coordenadas polares pela equação \;r=6\cos(\theta).
Informações fornecidas:
\;r=6\cos(\theta) é a relação entre o raio polar \;r e o ângulo polar \;\theta.
Nenhuma figura foi fornecida — a tarefa é obter a forma da curva e dizer como desenhá‑la.

Passo 2

Lembrete básico sobre coordenadas polares (aula rápida): em coordenadas polares cada ponto do plano é dado por (r,\theta), onde \;r é a distância ao origem e \;\theta é o ângulo medido desde o eixo x positivo. As fórmulas que ligam coordenadas polares às cartesianas são
x = r\cos(\theta),
y = r\sin(\theta).
Também usamos que
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Vou usar essas relações para transformar a equação polar em uma equação conhecida em x,y — isso facilita muito desenhar.

Passo 3

Converter \;r=6\cos(\theta) para coordenadas cartesianas: multiplico ambos os lados por \;r (isso é permitido; apenas lembra que pontos com r=0 ficam preservados):
r\cdot r = r\cdot 6\cos(\theta)
ou seja
r^{2}=6r\cos(\theta).
Agora substituo \;r^{2}=x^{2}+y^{2} e \;r\cos(\theta)=x. Assim
x^{2}+y^{2}=6x.

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão de uma circunferência: reorganizo
x^{2}-6x+y^{2}=0.
Faço o quadrado completo para x: somo e subtraio (3)^{2} (porque metade de 6 é 3):
x^{2}-6x+9+y^{2}=9.
Isto é
(x-3)^{2}+y^{2}=9.
Conclusão: a curva é uma circunferência de centro (3,0) e raio 3.

Passo 5

Interpretação polar e domínio de \theta: observe que \cos(\theta) é positivo quando \theta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), zero em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} e negativo fora desse intervalo. Como \;r=6\cos(\theta):
  • Para \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] temos r\ge 0 e a curva é traçada de forma direta (sem usar r negativo).
  • Para \theta onde \cos(\theta)<0, o valor de r fica negativo; pontos com r<0 e ângulo \theta coincidem com pontos com r>0 e ângulo \theta+\pi, portanto essas partes apenas retravam a mesma circunferência já obtida.
Portanto, para desenhar sem confusão basta varrer \theta de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2} — isso desenha a circunferência inteira exatamente uma vez.

Passo 6

Pontos notáveis para esboçar (calculei usando \;r=6\cos(\theta) e (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)):
  • \theta=0: \;r=6 dá o ponto (6,0) (extremo direito da circunferência).
  • \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}: \;r=0 dá o ponto (0,0) (a circunferência passa pela origem).
  • Por exemplo, \theta=\tfrac{\pi}{3}: \;r=6\cos(\tfrac{\pi}{3})=6\cdot\tfrac{1}{2}=3. O ponto é (x,y)=(3\cos\tfrac{\pi}{3},3\sin\tfrac{\pi}{3})=(1{,}5,\; \tfrac{3\sqrt{3}}{2}), que satisfaz (x-3)^{2}+y^{2}=9 (verificação rápida).
Geometricamente: a circunferência tem centro em (3,0) e raio 3. Ela é simétrica em relação ao eixo x, passa pela origem e pelo ponto (6,0).
Dica prática para desenhar no papel: marque o centro em (3,0) (3 unidades à direita da origem), desenhe uma circunferência de raio 3; ela intersecta o eixo x em x=0 e x=6 e cruza a origem.

Passo 7

Orientação do traço quando \theta varia: ao aumentar \theta de -\tfrac{\pi}{2} até \tfrac{\pi}{2}, começamos na origem, vamos até o ponto direito (6,0) quando \theta=0 e voltamos à origem em \theta=\tfrac{\pi}{2}. Para \theta fora desse intervalo a curva é retraçada via r negativo (mesmos pontos).
Respira fundo — a curva é só uma circunferência deslocada para a direita. Agora você já sabe transformar equações polares em cartesianas e desenhar.

Resposta

(x-3)^{2}+y^{2}=9, ou seja, circunferência de centro (3,0) e raio 3.

Exercícios relacionados