Represente graficamente a curva dada em coordenadas polares por
Passo 1
O que o enunciado pede: representar graficamente a curva dada em coordenadas polares pela equação
.
Informações fornecidas:
é a relação entre o raio polar
e o ângulo polar
.
Nenhuma figura foi fornecida — a tarefa é obter a forma da curva e dizer como desenhá‑la.
Nenhuma figura foi fornecida — a tarefa é obter a forma da curva e dizer como desenhá‑la.
Passo 2
Lembrete básico sobre coordenadas polares (aula rápida): em coordenadas polares cada ponto do plano é dado por
, onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido desde o eixo
positivo. As fórmulas que ligam coordenadas polares às cartesianas são
Também usamos que
Vou usar essas relações para transformar a equação polar em uma equação conhecida em
— isso facilita muito desenhar.
Passo 3
Converter
para coordenadas cartesianas: multiplico ambos os lados por
(isso é permitido; apenas lembra que pontos com
ficam preservados):
ou seja
Agora substituo
e
. Assim
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão de uma circunferência: reorganizo
Faço o quadrado completo para
: somo e subtraio
(porque metade de
é
):
Isto é
Conclusão: a curva é uma circunferência de centro
e raio
.
Passo 5
Interpretação polar e domínio de
: observe que
é positivo quando
, zero em
e negativo fora desse intervalo. Como
:
- Para
temos e a curva é traçada de forma direta (sem usar negativo). - Para
onde , o valor de fica negativo; pontos com e ângulo coincidem com pontos com e ângulo , portanto essas partes apenas retravam a mesma circunferência já obtida.
Portanto, para desenhar sem confusão basta varrer
de
até
— isso desenha a circunferência inteira exatamente uma vez.
Passo 6
Pontos notáveis para esboçar (calculei usando
e
):
-
: dá o ponto (extremo direito da circunferência). -
: dá o ponto (a circunferência passa pela origem). - Por exemplo,
: . O ponto é , que satisfaz (verificação rápida).
Geometricamente: a circunferência tem centro em
e raio
. Ela é simétrica em relação ao eixo
, passa pela origem e pelo ponto
.
Dica prática para desenhar no papel: marque o centro em
(3 unidades à direita da origem), desenhe uma circunferência de raio 3; ela intersecta o eixo
em
e
e cruza a origem.
Passo 7
Orientação do traço quando
varia: ao aumentar
de
até
, começamos na origem, vamos até o ponto direito
quando
e voltamos à origem em
. Para
fora desse intervalo a curva é retraçada via
negativo (mesmos pontos).
Respira fundo — a curva é só uma circunferência deslocada para a direita. Agora você já sabe transformar equações polares em cartesianas e desenhar.