Represente graficamente a curva dada em coordenadas polares por
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente a curva em coordenadas polares dada por
Informações fornecidas que vamos usar:
para
.
A única tarefa é desenhar/representar essa curva (sem figura enviada).
A única tarefa é desenhar/representar essa curva (sem figura enviada).
Passo 2
Breve lembrança do que é coordenada polar (útil para desenhar): em coordenadas polares cada ponto é dado por
onde
Observação importante sobre
negativo: se
para algum
, o ponto
é o mesmo que o ponto
: isto é, um raio negativo aponta na direção oposta. Isso gera, em curvas como a dada, partes do laço interior.
Passo 3
Identificar simetrias e tipo de curva:
- A função tem
, então a curva é simétrica em relação ao eixo (reflexão mantém ). - A forma geral
é um limaçon. Como , sabemos que haverá um laço interior (inner loop). Vou explicar e mostrar isso numericamente nos passos seguintes.
Passo 4
Encontrar máximos, mínimos e zeros de
(pontos-chave):
- Máximos/minimos de
: calcular . Assim quando , ou seja . - Em
: . Ponto correspondente em cartesiano: . - Em
: . Esse é um mínimo de (negativo). Como representa (porque ).
- Em
- Zeros de
: resolver . - Logo as raízes são
e . - Numericamente
(≈ ) e (≈ ). Nestes ângulos a curva passa pela origem (cusp que une o laço interior à curva exterior).
- Logo as raízes são
Passo 5
Pontos notáveis adicionais (avaliar
em ângulos padrão) — vamos calcular alguns
e suas coordenadas cartesianas
. Vou arredondar para 3 casas decimais:
-
: → . -
: → . Coordenadas: . -
: → . Coordenadas: . -
: → . Coordenadas: . -
(zero): → origem . -
: → . Como é negativo, é o mesmo ponto que . Coordenadas finais: . -
: → → ponto mapear para direção oposta (330°) com : . -
: → → mapeia para . -
: → → . -
: → → . -
: → → .
Estes pontos já dão uma boa “moldura” para desenhar.
Passo 6
Interpretando os resultados (descrição geométrica da curva):
- A curva é um limaçon com laço interior porque
(6>2). - Ela tem o ramo exterior que se estende até
(ponto mais à direita). - A curva cruza o eixo
em três pontos: (externo à direita), a origem (duas interseções quando r=0 nos ângulos calculados) e (resultante de que vira ). O ponto pertence ao laço interior. - O laço interior fica à direita do eixo
(próximo do eixo positivo), tocando a origem e tendo seu máximo interno em . - O ramo exterior é mais largo à direita (bulge para a direita) e tem “cintura” passando pela origem quando
e .
Passo 7
Como esboçar passo a passo na folha (receita prática para a prova):
- Desenhe os eixos
. - Marque os pontos principais:
, , a origem , e . - Plote os pontos do Passo 5 (pelo menos os de 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 300°, 330°). Use os pares
calculados. - Entre
e o valor de decresce de até : trace suavemente a parte superior do ramo exterior indo de passando por , até a origem. - Para
entre e temos : isso gera o laço interior — desenhe a curva que sai da origem, passa por (para ) e volta à origem em . - Para
de até o volta a ser positivo e você desenha a parte inferior do ramo exterior passando por , , e terminando em . - Ligue tudo suavemente: o resultado é um limaçon com laço interior no lado direito e um “bump” externo mais pronunciado à direita.
Passo 8
Uma confirmação algébrica rápida (mostrando que é um limaçon): usando
e
,
Multiplicando por
:
que ao eliminar a raiz (com cuidado, elevando ao quadrado) leva à equação cartesiana do limaçon (não é necessário desenvolver totalmente na prova, mas isto confirma o tipo de curva).
Passo 9
Observações finais para o desenho:
- Se puder, marque as direções
importantes (0, , , , ) no esquema polar e a distância radial nesses ângulos. - Use uma malha polar ou desenhe círculos auxiliares de raio
para facilitar a posição dos pontos. - Lembre-se: as interseções com o eixo
aparecem em , e na origem.
Resposta
Limaçon com laço interior (inner loop) simétrico em relação ao eixo
. Pontos chave:
é o ponto mais à direita (
,
);
e
para
(
); raízes
em
e
(a curva passa pela origem); o laço interior atinge
(resultado de
). Desenhe os pontos listados e conecte suavemente para obter o gráfico.