Represente graficamente a curva dada em coordenadas polares por
r=2+6 \cos (\theta)

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente a curva em coordenadas polares dada por
r = 2 + 6\cos(\theta).
Informações fornecidas que vamos usar:
\;r(\theta)=2+6\cos(\theta) para \theta\in[0,2\pi).
A única tarefa é desenhar/representar essa curva (sem figura enviada).

Passo 2

Breve lembrança do que é coordenada polar (útil para desenhar): em coordenadas polares cada ponto é dado por (r,\theta) onde
x = r\cos(\theta),\qquad y = r\sin(\theta).
Observação importante sobre r negativo: se r<0 para algum \theta, o ponto (r,\theta) é o mesmo que o ponto (|r|,\theta+\pi): isto é, um raio negativo aponta na direção oposta. Isso gera, em curvas como a dada, partes do laço interior.

Passo 3

Identificar simetrias e tipo de curva:
  • A função tem \cos(\theta), então a curva é simétrica em relação ao eixo x (reflexão \theta\mapsto -\theta mantém r).
  • A forma geral r=a+b\cos\theta é um limaçon. Como |b|=6 > a=2, sabemos que haverá um laço interior (inner loop). Vou explicar e mostrar isso numericamente nos passos seguintes.

Passo 4

Encontrar máximos, mínimos e zeros de r (pontos-chave):
  • Máximos/minimos de r: calcular \dfrac{dr}{d\theta} = -6\sin(\theta). Assim \dfrac{dr}{d\theta}=0 quando \sin\theta=0, ou seja \theta=0,\pi.
    • Em \theta=0: \;r(0)=2+6\cos0=2+6\cdot1=8. Ponto correspondente em cartesiano: (x,y)=(8,0).
    • Em \theta=\pi: \;r(\pi)=2+6\cos\pi=2+6\cdot(-1)= -4. Esse é um mínimo de r (negativo). Como r(\pi)=-4 representa (4,0) (porque (-4,\pi)=(4,0)).
  • Zeros de r: resolver 2+6\cos\theta=0\Rightarrow \cos\theta = -\tfrac{1}{3}.
    • Logo as raízes são \theta = \operatorname{arccos}\!\big(-\tfrac{1}{3}\big) e \theta = 2\pi - \operatorname{arccos}\!\big(-\tfrac{1}{3}\big).
    • Numericamente \operatorname{arccos}\!\big(-\tfrac{1}{3}\big)\approx 1{,}910633\\ \text{rad} (≈ 109{,}47^\circ) e 2\pi-1{,}910633\approx 4{,}372552\\ \text{rad} (≈ 250{,}53^\circ). Nestes ângulos a curva passa pela origem (cusp que une o laço interior à curva exterior).

Passo 5

Pontos notáveis adicionais (avaliar r em ângulos padrão) — vamos calcular alguns (\theta,r) e suas coordenadas cartesianas (x,y) = (r\cos\theta,\, r\sin\theta). Vou arredondar para 3 casas decimais:
  • \theta=0^\circ: \;r=8 (x,y)=(8,0).
  • \theta=30^\circ: \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866025 \;r\approx 7{,}196. Coordenadas: (x,y)\approx(6{,}235,\;3{,}598).
  • \theta=60^\circ: \cos60^\circ=0{,}5 \;r=5. Coordenadas: (x,y)=(2{,}500,\;4{,}330).
  • \theta=90^\circ: \cos90^\circ=0 \;r=2. Coordenadas: (x,y)=(0,\;2).
  • \theta\approx109{,}47^\circ (zero): \;r=0 → origem (0,0).
  • \theta=120^\circ: \cos120^\circ=-0{,}5 \;r=-1. Como r é negativo, é o mesmo ponto que (1,300^\circ). Coordenadas finais: (x,y)\approx(0{,}500,\;-0{,}866).
  • \theta=150^\circ: \cos150^\circ\approx-0{,}866025 \;r\approx -3{,}196 → ponto mapear para direção oposta (330°) com r\approx3{,}196: (x,y)\approx(2{,}768,\;-1{,}598).
  • \theta=180^\circ: \cos180^\circ=-1 \;r=-4 → mapeia para (4,0).
  • \theta=270^\circ: \cos270^\circ=0 \;r=2 (x,y)=(0,-2).
  • \theta=300^\circ: \cos300^\circ=0{,}5 \;r=5 (x,y)=(2{,}500,\;-4{,}330).
  • \theta=330^\circ: \cos330^\circ\approx0{,}866025 \;r\approx7{,}196 (x,y)\approx(6{,}235,\;-3{,}598).
    Estes pontos já dão uma boa “moldura” para desenhar.

Passo 6

Interpretando os resultados (descrição geométrica da curva):
  • A curva é um limaçon com laço interior porque |b|>a (6>2).
  • Ela tem o ramo exterior que se estende até (8,0) (ponto mais à direita).
  • A curva cruza o eixo x em três pontos: (8,0) (externo à direita), a origem (0,0) (duas interseções quando r=0 nos ângulos calculados) e (4,0) (resultante de r(\pi)=-4 que vira (4,0)). O ponto (4,0) pertence ao laço interior.
  • O laço interior fica à direita do eixo y (próximo do eixo x positivo), tocando a origem e tendo seu máximo interno em (4,0).
  • O ramo exterior é mais largo à direita (bulge para a direita) e tem “cintura” passando pela origem quando \theta\approx109{,}47^\circ e \theta\approx250{,}53^\circ.

Passo 7

Como esboçar passo a passo na folha (receita prática para a prova):
  1. Desenhe os eixos x,y.
  2. Marque os pontos principais: (8,0), (4,0), a origem (0,0), (0,2) e (0,-2).
  3. Plote os pontos do Passo 5 (pelo menos os de 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 300°, 330°). Use os pares (x,y) calculados.
  4. Entre \theta=0 e \theta\approx109{,}47^\circ o valor de r decresce de 8 até 0: trace suavemente a parte superior do ramo exterior indo de (8,0) passando por (6{,}235,3{,}598), (2{,}5,4{,}33) até a origem.
  5. Para \theta entre \approx109{,}47^\circ e \approx250{,}53^\circ temos r<0: isso gera o laço interior — desenhe a curva que sai da origem, passa por (4,0) (para \theta=\pi) e volta à origem em \theta\approx250{,}53^\circ.
  6. Para \theta de \approx250{,}53^\circ até 2\pi o r volta a ser positivo e você desenha a parte inferior do ramo exterior passando por (0,-2), (2{,}5,-4{,}33), (6{,}235,-3{,}598) e terminando em (8,0).
  7. Ligue tudo suavemente: o resultado é um limaçon com laço interior no lado direito e um “bump” externo mais pronunciado à direita.

Passo 8

Uma confirmação algébrica rápida (mostrando que é um limaçon): usando \cos\theta = \dfrac{x}{r} e r=\sqrt{x^2+y^2},
r = 2 + 6\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r = 2 + 6\frac{x}{r}.
Multiplicando por r:
r^2 = 2r + 6x,\qquad\text{ou}\qquad x^2+y^2 = 2\sqrt{x^2+y^2} + 6x,
que ao eliminar a raiz (com cuidado, elevando ao quadrado) leva à equação cartesiana do limaçon (não é necessário desenvolver totalmente na prova, mas isto confirma o tipo de curva).

Passo 9

Observações finais para o desenho:
  • Se puder, marque as direções \theta importantes (0, 109{,}47^\circ, 180^\circ, 250{,}53^\circ, 360^\circ) no esquema polar e a distância radial r nesses ângulos.
  • Use uma malha polar ou desenhe círculos auxiliares de raio 1,2,4,8 para facilitar a posição dos pontos.
  • Lembre-se: as interseções com o eixo x aparecem em (8,0), (4,0) e na origem.

Resposta

Limaçon com laço interior (inner loop) simétrico em relação ao eixo x. Pontos chave: (8,0) é o ponto mais à direita ( \theta=0, r=8); (0,2) e (0,-2) para \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} ( r=2); raízes r=0 em \theta\approx1{,}910633\\ \text{rad}\\ (109{,}47^\circ) e \theta\approx4{,}372552\\ \text{rad}\\ (250{,}53^\circ) (a curva passa pela origem); o laço interior atinge (4,0) (resultado de r(\pi)=-4). Desenhe os pontos listados e conecte suavemente para obter o gráfico.

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