Represente graficamente as curvas polares a seguir.
r=3

Passo 1

O enunciado pede para representar graficamente a curva polar dada por r=3. As informações fornecidas são: o raio polar r é constante e igual a 3; o ângulo polar \theta é a variável livre que pode variar (normalmente) em [0,2\pi) ou além.

Passo 2

Vamos lembrar o que são coordenadas polares e como passar para coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde:
r
é a distância do ponto à origem e
\theta
é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta
y = r\sin\theta
Essas fórmulas significam: para cada par (r,\theta) eu multiplico r pelo cosseno e seno do ângulo para obter as coordenadas cartesianas correspondentes.

Passo 3

Aplicando a conversão ao caso r=3 obtemos as equações paramétricas em \theta:
x(\theta)=3\cos\theta
y(\theta)=3\sin\theta
Agora podemos obter a equação cartesiana eliminando \theta. Usamos a identidade \cos^2\theta+\sin^2\theta=1:
x^2 + y^2 = (3\cos\theta)^2 + (3\sin\theta)^2 = 9(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=9.
Portanto a curva em coordenadas cartesianas satisfaz
x^2+y^2=9.

Passo 4

Interpretação geométrica: a equação \;x^2+y^2=9\; é a equação de um círculo de raio 3 centrado na origem (0,0). Em palavras: todos os pontos que estão a distância 3 da origem formam essa curva.

Passo 5

Pontos especiais (para desenhar à mão sem calculadora): calcule alguns pontos substituindo valores simples de \theta.
\theta=0 \Rightarrow (x,y)=(3\cos0,3\sin0)=(3,0).
\theta=\tfrac{\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=(0,3).
\theta=\pi \Rightarrow (x,y)=(-3,0).
\theta=\tfrac{3\pi}{2} \Rightarrow (x,y)=(0,-3).
\theta=\tfrac{\pi}{4} \Rightarrow (x,y)=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{2}},\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr).
Esses pontos já dão a forma do círculo e são fáceis de marcar no rascunho.

Passo 6

Como traçar no papel (passo a passo prático): desenhe os eixos x e y, marque a unidade de comprimento e marque os pontos (3,0),(0,3),(-3,0),(0,-3). Em seguida una-os com uma circunferência suave passando pelo centro na origem; essa é a curva. Indique uma seta no sentido anti-horário para mostrar que, ao aumentar \theta, o ponto é percorrido no sentido anti-horário. Note também que se você permitir \theta além de [0,2\pi) o mesmo círculo será percorrido novamente — a curva geométrica não muda.

Resposta

Círculo de raio 3 centrado na origem: x^2+y^2=9. Equações paramétricas: x=3\cos\theta,\;y=3\sin\theta para 0\le\theta<2\pi.

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