Represente graficamente as curvas polares a seguir.
r=1+\cos \theta

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente a curva polar dada por r=1+\cos\theta.
Informações fornecidas: a equação polar é r=1+\cos\theta e a variável angular é \theta (assumimos o domínio padrão \theta\in[0,2\pi]). Nada mais foi dado.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rápido o que significa uma equação em coordenadas polares (aula rapidinha, tranquila). Em coordenadas polares cada ponto no plano é dado por um par (r,\theta) onde:
r=\text{distância do ponto à origem},âà
\theta=\text{ângulo medido a partir do eixo }x\text{ positivo (sentido anti-horário)}.âá
Para desenhar uma curva polar r=f(\theta) normalmente fazemos isto: para vários valores de \theta calculamos r, marcamos o ponto com polar (r,\theta) e ligamos suavemente esses pontos, respeitando a variação de \theta. Se preferir converter para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Vou usar essa relação para obter coordenadas x(\theta),y(\theta) que facilitam a plotagem.

Passo 3

Obtemos as coordenadas paramétricas substituindo r=1+\cos\theta nas fórmulas cartesianas:
x(\theta) = (1+\cos\theta)\cos\theta,
y(\theta) = (1+\cos\theta)\sin\theta.
Se quiser manipular um pouco, dá para expandir:
x(\theta)=\cos\theta+\cos^2\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta+\sin\theta\cos\theta.
E usando identidades de ângulo duplo (só para conhecimento),
\cos^2\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos2\theta),\qquad \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin2\theta,
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x(\theta)=\tfrac{3}{2}\cos\theta+\tfrac{1}{2}\cos2\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta+\tfrac{1}{2}\sin2\theta.
Essas formas paramétricas são úteis para traçar a curva ponto a ponto.

Passo 4

Vamos estudar pontos importantes e comportamento da curva (isso ajuda MUITO na hora de desenhar rápido na prova).
Calcule r'(\theta) para achar máximos/minimos de r:
r(\theta)=1+\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r'(\theta)=-\sin\theta.
Zerando, \sin\theta=0 \theta=0,\pi,2\pi,\dots. Avaliando:
  • Em \theta=0: r=1+\cos0=2 (ponto mais afastado da origem). Coordenada: (x,y)=(2,0).
  • Em \theta=\pi: r=1+\cos\pi=1-1=0. Isso é a origem — um ponto especial: cusp (ponta) da curva.
  • Em \theta=\tfrac{\pi}{2} e \theta=\tfrac{3\pi}{2}: \cos\theta=0\Rightarrow r=1. Coordenadas: (0,1) e (0,-1).
    Observação importante: r\ge 0 para todo \theta (porque \cos\theta\ge -1), então não há laço interno com r<0. A curva é contínua e fechada ao variar \theta de 0 a 2\pi.

Passo 5

Agora faço uma tabela de pontos práticos (ângulo \theta, valor r e coordenadas (x,y)) que você pode riscar no papel para obter a forma:
\theta=0: r=1+\cos0=2. (x,y)=(2,0).
\theta=\tfrac{\pi}{6}: r=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx1,866.
(x,y)\approx(1,616,\;0,933).
\theta=\tfrac{\pi}{4}: r=1+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx1,707.
(x,y)\approx(1,207,\;1,207).
\theta=\tfrac{\pi}{3}: r=1+\tfrac{1}{2}=1,5.
(x,y)=(0,75,\;1,299).
\theta=\tfrac{\pi}{2}: r=1. (x,y)=(0,1).
\theta=\tfrac{2\pi}{3}: r=1-\tfrac{1}{2}=0,5.
(x,y)\approx(-0,25,\;0,433).
\theta=\tfrac{3\pi}{4}: r\approx0,2929.
(x,y)\approx(-0,207,\;0,207).
\theta=\tfrac{5\pi}{6}: r\approx0,13397.
(x,y)\approx(-0,116,\;0,067).
\theta=\pi: r=0. (x,y)=(0,0) (cusp).
Para \theta>\pi a curva sobe de novo saindo da origem para baixo e volta a (2,0) em \theta=2\pi. Exemplos simétricos (simetria em relação ao eixo x):
\theta=\tfrac{4\pi}{3}\Rightarrow (x,y)\approx(-0,25,-0,433),
\theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow (0,-1),
\theta=\tfrac{11\pi}{6}\Rightarrow (1,616,-0,933),
\theta=2\pi\Rightarrow (2,0).

Passo 6

Como desenhar passo a passo (técnica prática na prova — faça assim e fica bom):
  1. Marque os pontos-chave: (2,0), (0,1), (0,-1) e a origem (0,0).
  2. Marque os pontos do primeiro quadrante que calculei (por ex. para \theta=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3}).
  3. Una os pontos com uma curva suave, lembrando que ao ir de \theta=0 até \theta=\pi a curva vai de (2,0) passando por cima até a origem; de \theta=\pi a 2\pi ela sai da origem passando por baixo e volta a (2,0).
  4. Note a ponta (cusp) na origem em \theta=\pi — a curva tem uma “cabeça” apontada para a esquerda.
  5. A orientação é anti-horária conforme \theta aumenta.

Passo 7

Classificação e observação final (para decorar e usar em prova): a curva r=1+\cos\theta é um caso clássico de “limaçon” quando escrevemos r=a+b\cos\theta. No caso a=b=1 obtemos um caso especial chamado cardioide (tem formato de coração sem o recorte interno) com cusp na origem, simétrica em relação ao eixo x e com ponto mais distante a 2 unidades do centro em (2,0).

Resposta

Curva tipo cardioide dada por r=1+\cos\theta: cusp na origem ( \theta=\pi), ponto mais afastado (2,0) em \theta=0, interceptos (0,1) e (0,-1) em \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}; simétrica em relação ao eixo x e traçada uma vez para \theta\in[0,2\pi] (orientação anti-horária).

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