Represente graficamente as curvas polares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente a curva polar dada por
.
Informações fornecidas: a equação polar é e a variável angular é
(assumimos o domínio padrão
). Nada mais foi dado.
Informações fornecidas: a equação polar é
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rápido o que significa uma equação em coordenadas polares (aula rapidinha, tranquila). Em coordenadas polares cada ponto no plano é dado por um par
onde:
Para desenhar uma curva polar
normalmente fazemos isto: para vários valores de
calculamos
, marcamos o ponto com polar
e ligamos suavemente esses pontos, respeitando a variação de
. Se preferir converter para coordenadas cartesianas usamos as fórmulas
Vou usar essa relação para obter coordenadas
que facilitam a plotagem.
Passo 3
Obtemos as coordenadas paramétricas substituindo
nas fórmulas cartesianas:
Se quiser manipular um pouco, dá para expandir:
E usando identidades de ângulo duplo (só para conhecimento),
logo
Essas formas paramétricas são úteis para traçar a curva ponto a ponto.
Passo 4
Vamos estudar pontos importantes e comportamento da curva (isso ajuda MUITO na hora de desenhar rápido na prova).
Calcule
para achar máximos/minimos de
:
Zerando,
dá
. Avaliando:
- Em
: (ponto mais afastado da origem). Coordenada: . - Em
: . Isso é a origem — um ponto especial: cusp (ponta) da curva. - Em
e : . Coordenadas: e .
Observação importante:para todo (porque ), então não há laço interno com . A curva é contínua e fechada ao variar de a .
Passo 5
Agora faço uma tabela de pontos práticos (ângulo
, valor
e coordenadas
) que você pode riscar no papel para obter a forma:
Para
a curva sobe de novo saindo da origem para baixo e volta a
em
. Exemplos simétricos (simetria em relação ao eixo
):
,
,
,
.
Passo 6
Como desenhar passo a passo (técnica prática na prova — faça assim e fica bom):
- Marque os pontos-chave:
, , e a origem . - Marque os pontos do primeiro quadrante que calculei (por ex. para
). - Una os pontos com uma curva suave, lembrando que ao ir de
até a curva vai de passando por cima até a origem; de a ela sai da origem passando por baixo e volta a . - Note a ponta (cusp) na origem em
— a curva tem uma “cabeça” apontada para a esquerda. - A orientação é anti-horária conforme
aumenta.
Passo 7
Classificação e observação final (para decorar e usar em prova): a curva
é um caso clássico de “limaçon” quando escrevemos
. No caso
obtemos um caso especial chamado cardioide (tem formato de coração sem o recorte interno) com cusp na origem, simétrica em relação ao eixo
e com ponto mais distante a
unidades do centro em
.
Resposta
Curva tipo cardioide dada por
: cusp na origem (
), ponto mais afastado
em
, interceptos
e
em
; simétrica em relação ao eixo
e traçada uma vez para
(orientação anti-horária).