Represente graficamente as curvas polares a seguir.
r=2 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede: "Represente graficamente a curva polar r=2\operatorname{sen}\theta".
Informações dadas: a expressão da curva em coordenadas polares é r=2\operatorname{sen}\theta. Não há figura fornecida. O objetivo é obter a forma geométrica dessa curva e indicar como traçá-la no plano.

Passo 2

Vamos lembrar as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas fórmulas são ferramentas que usamos sempre que quisermos entender a forma da curva no plano). Para um ponto qualquer temos:
x = r\cos\theta,
y = r\operatorname{sen}\theta,
r = \sqrt{x^2+y^2}.
Aqui r é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo; x e y são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto.

Passo 3

Para identificar a curva, substituímos \operatorname{sen}\theta por y/r na equação polar r=2\operatorname{sen}\theta. Primeiro escrevemos a igualdade:
r = 2\operatorname{sen}\theta.
Substituindo \operatorname{sen}\theta = \dfrac{y}{r} obtemos (faça calmamente essa substituição: \operatorname{sen}\theta é y/r porque y=r\operatorname{sen}\theta):
r = 2\cdot\frac{y}{r}.
Multiplicando ambos os lados por r para eliminar o denominador:
r^2 = 2y.
Agora substituímos r^2 = x^2+y^2:
x^2 + y^2 = 2y.

Passo 4

Complete o quadrado em y para reconhecer a figura geométrica. Escrevemos:
x^2 + y^2 - 2y = 0
x^2 + \bigl(y^2 - 2y + 1\bigr) = 1
x^2 + (y-1)^2 = 1.
Isso é a equação de um círculo em coordenadas cartesianas. Portanto a curva é um círculo de centro (0,1) e raio 1.

Passo 5

Vamos extrair informações úteis para desenhar: centro e raios já temos, mas vejamos interceptos e valores notáveis de \theta.
  • O círculo vai de y=0 até y=2 (porque centro em y=1 e raio 1).
  • Quando \theta=0 temos \sen0=0 então r=0: ponto origem (0,0).
  • Quando \theta=\tfrac{\pi}{2} temos \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1 então r=2: ponto em coordenadas polares (r,\theta)=(2,\tfrac{\pi}{2}), que em cartesianas é (0,2) — o ponto superior do círculo.
  • Quando \theta=\tfrac{\pi}{6} temos \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2} então r=1: ponto a 30° e distância 1 da origem, que fica sobre o círculo (confere).
    Observação sobre domínio: \operatorname{sen}\theta\ge 0 para \theta\in[0,\pi], então com r\ge 0 a curva é traçada por \theta\in[0,\pi]. Em [0,\pi] você descreve todo o círculo exatamente uma vez (do ponto origem para cima e volta à origem passando pelo outro lado).

Passo 6

Como traçar passo a passo (modo prático para prova, sem calcadora visual):
  1. Desenhe o eixo x e y e marque o centro (0,1).
  2. Desenhe o círculo de raio 1 centrado em (0,1) — fica tocando a origem e com topo em (0,2).
  3. Para ver a parametrização polar: quando \theta aumenta de 0 a \pi, r=2\operatorname{sen}\theta aumenta de 0 até 2 (em \theta=\tfrac{\pi}{2}) e volta a 0 em \theta=\pi. Assim o traço começa na origem ( \theta=0), sobe pelo lado direito do círculo até (0,2) em \theta=\tfrac{\pi}{2} e desce pelo lado esquerdo até voltar à origem ( \theta=\pi).
  4. Para \theta fora de [0,\pi] (por exemplo \theta\in(\pi,2\pi)) temos \operatorname{sen}\theta<0 e r negativo; na prática isso representa os mesmos pontos do círculo já traçados (pois r<0 com ângulo \theta dá ponto equivalente a r>0 e ângulo \theta+\pi). Logo o conjunto de pontos permanece o mesmo: o círculo x^2+(y-1)^2=1.

Passo 7

Resumo didático e dica de prova: toda equação polar que tem a forma r = 2a\operatorname{sen}\theta corresponde a um círculo de raio a e centro em (0,a). No nosso caso a=1. Como exercício rápido para fixar: a equação r=2\cos\theta corresponde a x^2+(y)^2=2x, isto é, círculo de centro (1,0) e raio 1 — idéias análogas, só troca seno por cosseno.

Resposta

Círculo de equação x^2+(y-1)^2=1, centro (0,1) e raio 1; a curva é percorrida para \theta\in[0,\pi].

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