Represente graficamente as curvas polares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede: "Represente graficamente a curva polar
".
Informações dadas: a expressão da curva em coordenadas polares é . Não há figura fornecida. O objetivo é obter a forma geométrica dessa curva e indicar como traçá-la no plano.
Informações dadas: a expressão da curva em coordenadas polares é
Passo 2
Vamos lembrar as relações entre coordenadas polares e cartesianas (essas fórmulas são ferramentas que usamos sempre que quisermos entender a forma da curva no plano). Para um ponto qualquer temos:
Aqui
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo;
e
são as coordenadas cartesianas do mesmo ponto.
Passo 3
Para identificar a curva, substituímos
por
na equação polar
. Primeiro escrevemos a igualdade:
Substituindo
obtemos (faça calmamente essa substituição:
é
porque
):
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora substituímos
:
Passo 4
Complete o quadrado em
para reconhecer a figura geométrica. Escrevemos:
Isso é a equação de um círculo em coordenadas cartesianas. Portanto a curva é um círculo de centro
e raio
.
Passo 5
Vamos extrair informações úteis para desenhar: centro e raios já temos, mas vejamos interceptos e valores notáveis de
.
- O círculo vai de
até (porque centro em e raio ). - Quando
temos então : ponto origem . - Quando
temos então : ponto em coordenadas polares , que em cartesianas é — o ponto superior do círculo. - Quando
temos então : ponto a 30° e distância 1 da origem, que fica sobre o círculo (confere).
Observação sobre domínio:para , então com a curva é traçada por . Em você descreve todo o círculo exatamente uma vez (do ponto origem para cima e volta à origem passando pelo outro lado).
Passo 6
Como traçar passo a passo (modo prático para prova, sem calcadora visual):
- Desenhe o eixo
e e marque o centro . - Desenhe o círculo de raio
centrado em — fica tocando a origem e com topo em . - Para ver a parametrização polar: quando
aumenta de a , aumenta de até (em ) e volta a em . Assim o traço começa na origem ( ), sobe pelo lado direito do círculo até em e desce pelo lado esquerdo até voltar à origem ( ). - Para
fora de (por exemplo ) temos e negativo; na prática isso representa os mesmos pontos do círculo já traçados (pois com ângulo dá ponto equivalente a e ângulo ). Logo o conjunto de pontos permanece o mesmo: o círculo .
Passo 7
Resumo didático e dica de prova: toda equação polar que tem a forma
corresponde a um círculo de raio
e centro em
. No nosso caso
. Como exercício rápido para fixar: a equação
corresponde a
, isto é, círculo de centro
e raio
— idéias análogas, só troca seno por cosseno.
Resposta
Círculo de equação
, centro
e raio
; a curva é percorrida para
.